Gönderen Konu: 2009 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 11  (Okunma sayısı 1438 defa)

Çevrimdışı matematikolimpiyati

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1.560
  • Karma: +4/-0
2009 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 11
« : Ekim 07, 2022, 02:25:10 ös »
$a<b<c$  sayıları için $a+b=2c$  olursa $(a,b,c)$ üçlüsüne "aritmetik üçlü" diyelim. $A=\{1,2,3,...,n\}$ kümesinin elemanlarıyla oluşturulabilen tüm aritmetik üçlüler sayısının $99$'dan büyük olması için $n$ tek sayısı en az kaç olmalıdır?

$\textbf{a)}\ 21  \qquad\textbf{b)}\ 17  \qquad\textbf{c)}\ 19  \qquad\textbf{d)}\ 15  \qquad\textbf{e)}\ 23$

Çevrimdışı Metin Can Aydemir

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1.299
  • Karma: +9/-0
Ynt: 2009 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 11
« Yanıtla #1 : Ekim 06, 2024, 11:14:34 ös »
Cevap: $\boxed{A}$

$n=2k+1$ yazalım. Aritmetik üçlülerini sayalım. En büyük ve en küçük terim aynı paritede olmalıdır. Aynı paritede farklı iki sayı $(a,c)$ seçersek, $\frac{a+c}{2}$ sayısı, $a$ ile $c$ arasında istenilen şartlara uygun bir tamsayı olacağından bu şekildeki ikilileri saymalıyız.

En küçük terim $a$ (tek sayı) ise en büyük terim $a+2,a+4,\dots, 2k+1$ sayılarından biri olmalıdır, yani $\frac{2k+1-a}{2}$ tane seçenek vardır.

En küçük terim $a$ (çift sayı) ise en büyük terim $a+2,a+4,\dots, 2k$ sayılarından biri olmalıdır, yani $\frac{2k-a}{2}$ tane seçenek vardır.

$a=1,3,\dots,2k-1$ ve $a=2,4,\dots,2k-2$ terimleri için toplam aritmetik üçlü sayısı $$\sum_{i=1}^{k}\frac{(2k+1)-(2i-1)}{2}+\sum_{j=1}^{k-1}\frac{2k-2j}{2}$$ $$=\sum_{i=1}^{k}(k+1-i)+\sum_{j=1}^{k-1}(k-j).$$ Eğer $i\mapsto k+1-i$ ve $j\mapsto k-j$ dönüşümü yaparsak, yukarıdaki toplam $$=\sum_{i=1}^{k}i+\sum_{j=1}^{k-1}j=\frac{k(k+1)}{2}+\frac{(k-1)k}{2}=k^2$$ olacaktır. $k^2>99$ olmasını sağlayan en küçük $k$ değeri $10$'dur. En küçük $n$ tek sayısı $n=2k+1=21$'dir.
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal