Gönderen Konu: 2009 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 08  (Okunma sayısı 1491 defa)

Çevrimdışı matematikolimpiyati

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1.560
  • Karma: +4/-0
2009 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 08
« : Ekim 07, 2022, 02:12:16 ös »
$n$ bir pozitif tam sayı olmak üzere$,\ a=\dfrac{n(n+1)}{2}$ biçimindeki sayıya bir üçgensel sayı denir. Buna göre$,\ a-b=90$ eşitliğini sağlayan kaç tane $(a,b)$ üçgensel sayı ikilisi vardır?

$\textbf{a)}\ 3  \qquad\textbf{b)}\ 4  \qquad\textbf{c)}\ 5  \qquad\textbf{d)}\ 6  \qquad\textbf{e)}\ 8$

Çevrimdışı Metin Can Aydemir

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1.299
  • Karma: +9/-0
Ynt: 2009 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 08
« Yanıtla #1 : Ekim 13, 2024, 10:08:19 öö »
Cevap: $\boxed{D}$

$a=\frac{n(n+1)}{2}$ ve $b=\frac{m(m+1)}{2}$ olsun. Bu durumda $a-b=90$ olduğundan $$n(n+1)-m(m+1)=(n-m)(n+m+1)=180$$ elde edilir. $n-m$ ve $n+m+1$'in pariteleri farklıdır. Dolayısıyla bir tanesi $4$'e bölünmelidir. Ayrıca $n+m+1>n-m$'dir. $$(n-m,n+m+1)=(1,180),(3,60),(4,45),(5,36),(9,20),(12,15)$$ olabilir. Bu çözümlerin her birinden bir tane $(n,m)$ ikilisi, her ikiliden de bir tane $(a,b)$ ikilisi elde edeceğimizden dolayı $6$ tane ikili vardır.
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal