2009 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 05

[matematikolimpiyati]

$p$ bir asal sayı ve $x>0,\ n \geq 0$  tam sayılar olmak üzere$,\ n^2 \cdot p < 1000$ ise

               $n^2+100 \cdot \dfrac{x}{p} = (n+x)^2$

denkleminin kaç tane $(x,n,p)$ çözüm üçlüsü vardır?

$\textbf{a)}\ 25  \qquad\textbf{b)}\ 30  \qquad\textbf{c)}\ 32  \qquad\textbf{d)}\ 33  \qquad\textbf{e)}\ 35$

[Metin Can Aydemir]

Cevap:$\boxed{D}$

Verilen ifadeyi açarsak, $$100x=p(x^2+2nx)$$ elde edilir. $p\nmid x$ ise $p\mid 100$ olacaktır, yani $p=2$ veya $p=5$'dir.

Eğer $p\mid x$ ise $x=pk$ yazarsak, $$100=p^2k+2np$$ elde edileceğinden yine $p\mid 100$ elde edilir. Yani her durumda $p=2$ veya $p=5$'dir.

$p=2$ ise $n^2<500$, yani $n\leq 22$ olacaktır. Ayrıca $$50x=x^2+2nx\implies 50=x+2n$$ olacağından her $n\leq 22$ için tam olarak bir tane $x$ pozitif tamsayısı bulabiliriz. $23$ tane çözüm üçlüsü elde ederiz.

$p=5$ ise $n^2<200$, yani $n\leq 14$'dür. Ayrıca $$20x=x^2+2nx\implies 20=x+2n$$ bulunur. $n\leq 9$ olduğunda çözüm vardır. Buradan da $10$ tane çözüm üçlüsü bulunur.

Toplamda $23+10=33$ çözüm bulunur.