2009 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 03

[matematikolimpiyati]

$b$ ve $c$ pozitif tam sayılar olmak üzere$,$ kaç $(b,c)$ ikilisi için $x^2-bx-c=0$ denkleminin kökleri $5$'ten büyük değildir?

$\textbf{a)}\ 25  \qquad\textbf{b)}\ 30  \qquad\textbf{c)}\ 40  \qquad\textbf{d)}\ 45  \qquad\textbf{e)}\ 50$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{E}$

Denklemin kökleri $$x_{1,2}=\frac{b\pm\sqrt{b^2+4c}}{2}$$ olduğundan ve $b-\sqrt{b^2+4c}<b+\sqrt{b^2+4c}$ olduğundan $$b+\sqrt{b^2+4c}\leq 10$$ olması yeterlidir. $\sqrt{b^2+4c}>b$ olduğundan $2b< 10$ ve $1\leq b\leq 4$ olmalıdır.

$b$'yi $1\leq b\leq 4$ aralığında sabitlersek, $$\sqrt{b^2+4c}\leq 10-b\iff b^2+4c\leq 100+b^2-20b\iff c\leq 25-5b$$ olacaktır. Yani $25-5b$ çözüm elde ederiz. $b=1,2,3,4$ olabileceğinden, $$20+15+10+5=50$$ tane $(b,c)$ pozitif tamsayı ikilisi için verilen denklemin kökleri $5$'ten büyük değildir.