Piyasa Kitaplarındaki Hatalı Sorular > Hatalı Cebir Soruları

Fonksiyonel denklem sorusu

(1/2) > >>

alpercay:
Uygun tanım aralığında tanımlı $f$ fonksiyonu $$f(x) +xf(1/x)=x+\dfrac{1}{x+1}$$ eşitliğini sağlıyorsa $f$ fonksiyonunu bulunuz.

Seçenekler $(x^2-1)/x^3, x^3/(x^2-1), x^3/(x+1), (x^2+1)/x^3, x^3/(x^2+1)$

şeklinde.

$f(1)$ değeri seçeneklerde ve denklemde farklı çıktığından sorunun hatalı/eksik sorulmuş olabileceğini düşündüm. Sorunun kaynağını bilmiyorum; Tmoz'da sorulmuş. Soruya verilen çözümü ve yapılan yorumları daha sonra paylaşacağım.

Metin Can Aydemir:
Tam bir çözüm şimdilik elimde yok ama eşitliğin tek çözümü $f(x)=\frac{x+2}{2(x+1)}$ gibi gözüküyor. Soru hazırlanırken nasıl bir hata oldu da şıklar bu şekilde verildi emin değilim.

Eray:
Fonksiyona dair ilave özellikler söylenmesi gerekiyor olabilir mi? Süreklilik gibi.

Bu haliyle her $a\in\mathbb R\setminus\{0\}$ sayısı için $f(a)$ değeri ile ilişkisini bildiğimiz sadece $f(1/a)$ var. Örneğin $f(2)$ hakkında bildiğimiz tek şey $f(2)$ ve $f(1/2)$ sayılarının sağladığı bir eşitlik ($x=2$ veya $x=1/2$ koyulduğunda elde edilen eşitlik). $f(2)$ ve $f(1/2)$ değerlerini etkileyen başka herhangi bir bilgimiz mevcut değil.

Sorunun bu haliyle şu da bir çözümdür:
$f(x) = \left\{
    \begin{array}{lr}
        \frac{x+2}{2(x+1)}, & 2 \neq x \neq 1/2\\
        7/3, & x=2\\
        0, & x=1/2
    \end{array}
\right.$

Lokman Gökçe:
Ayrıca $f: \mathbb{R} - \{-1,0\} \to \mathbb{R} $ biçiminde bir çözüm

$
\begin{equation*}
f(x)= \left\{
\begin{split}
\dfrac{x^3}{x^2-1}, &\quad x \neq 0, 1, -1 \text{ ise}  \\
\dfrac{3}{4}, &\quad x=1 \text{ ise}
\end{split}
\right.
\end{equation*}
$

olmaktadır.


Bu soruda da bir başka fonksiyonel denklemi sağlayan birden fazla sağlayan çözüm vakası var gibi görünüyor.

alpercay:
Soruyu matkafasında da tartıştık. Buradan https://www.matkafasi.com/138191/fonksiyonel-denklem?state=edit-138204 izlenebilir.

Verilen çözümü değiştirerek paylaşıyorum:

$f(x) +xf(1/x)=\dfrac{x^2+x+1}{x+1}=\dfrac{x^3-1}{x^2-1}=\dfrac{x^3}{x^2-1}+\dfrac{-1}{x^2-1}$ ve $g(x)=\dfrac{x^3}{x^2-1},  h(x)=\dfrac{-1}{x^2-1}$ dersek

 $$f(x) +xf(1/x)=g(x)+h(x)$$

 $g(\dfrac{1}{x})$ değerini hesaplayalım:

$g(\dfrac{1}{x})=\dfrac{1}{x(1-x^2)}=\dfrac{h(x)}x{}$  $$h(x)=xg(\dfrac{1}{x})$$ olduğundan $$f(x) +xf(1/x)=g(x)+h(x)=g(x)+xg(\dfrac{1}{x})$$ eşitliğinden $$f(x)=g(x)=\dfrac{x^3}{x^2-1}$$ elde edilir.

Navigasyon

[0] Mesajlar

[#] Sonraki Sayfa