Gönderen Konu: L Trimino Parçalarla Kaplama Problemleri {Çözüldü}  (Okunma sayısı 3960 defa)

Çevrimdışı Lokman Gökçe

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3.716
  • Karma: +23/-0
  • İstanbul
L Trimino Parçalarla Kaplama Problemleri {Çözüldü}
« : Ağustos 20, 2022, 02:13:44 ös »
Buradaki problemi çözdükten sonra bazı yeni problemler düşündüm. Bunları paylaşalım:


Problem 1: $n\times n$ türündeki bir tahtanın bir birim karesi çıkarıldıktan sonra geriye kalan kısım $L$-trimino taşlarla kaplanacaktır. $L$-trimino, $2\times 2$ karenin bir birim karesinin çıkarılmasıyla elde edilen $3$ birim karelik şekildir. $3\mid n$ iken $n\times n$ tahtadan çıkarılan birim karenin seçilebileceği kaç farklı durum vardır?


Problem 2: $5\times 5$ türündeki bir tahtanın bir birim karesi çıkarıldıktan sonra geriye kalan kısım $L$-trimino taşlarla kaplanacaktır. $5\times 5$ tahtadan çıkarılan birim karenin seçilebileceği kaç farklı durum vardır?
« Son Düzenleme: Ağustos 24, 2022, 07:06:43 ös Gönderen: Lokman Gökçe »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı Lokman Gökçe

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3.716
  • Karma: +23/-0
  • İstanbul
Ynt: L Trimino Parçalarla Kaplama Problemleri
« Yanıtla #1 : Ağustos 21, 2022, 06:16:01 ös »
Problem 1'in Çözümü:  Yanıt $0$ dır.

$3\mid n$ iken $n\times n$ tahtanın alanı da $3$  ile tam bölünebilen bir değerdir. Bu tahtadan bir birim kare çıkarılırsa, geriye kalan kaplanacak alan $3$ ile tam bölünemez. Öte taraftan $L$-trimino parçaların her biri $3$ birim kare kaplayabildiği için kaplanan toplam alan da $3$'ün katı olur, çelişki. Yani $n\times n$ kareden çıkarılabilecek birim kare için $0$ durum vardır.
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı Lokman Gökçe

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3.716
  • Karma: +23/-0
  • İstanbul
Ynt: L Trimino Parçalarla Kaplama Problemleri
« Yanıtla #2 : Ağustos 21, 2022, 07:13:25 ös »
Problem 2'nin Çözümü:  Yanıt $9$ dur.

$5 \times 5$ tahtayı mavi ve sarı yatay şeritler halinde boyayalım. $15$ mavi ve $10$ sarı birim kare vardır. $L$-triminoların $x$ tanesi $2$ mavi, $1$ sarı renkli ve $y$ tanesi de $1$ mavi, $2$ sarı renkli birim karelerden oluşsun.


Çıkarılan birim kare sarı renkli ise $2x + y = 15$ ve $x + 2y = 9$ olur. Buradan $x=7, y=1$ bulunur. Fakat bu durumda $2$ mavi, $1$ sarı içeren $7$ parçayı



biçiminde birleştirerek $3\times 2$ türünde alanlar kaplamamız gerekir. $5\times 5$ tahtaya en fazla bir tane $3\times 2$ türünde blok koyabiliriz. İkinci bir $3\times 2$ türünde blok koyacak olursak kalan kısımlara kaplama yapılamayacağı açıktır. $2$ mavi, $1$ sarı renkli $x=7$ tane $L$-triminoyu farklı konfigürasyonlarla birleştirmeyi denersek yine kaplamanın mümkün olmadığı görülür. Biraz deneme yapmak gerekiyor. (Çözümümün bu kısmı iyileştirebiliriz, katkı verilmeye açıktır.) O halde çıkarılan birim kare mavi renkli olabilir. Bu durumda $2x + y = 14$ ve $x + 2y = 10$ olur. $x=6, y=2$ dir.

Bu defa $5 \times 5$ tahtayı mavi ve sarı dikey şeritler halinde boyayalım. $15$ mavi ve $10$ sarı birim kare vardır. $L$-triminoların $x$ yanesi $2$ mavi, $1$ sarı renkli ve $y$ tanesi de $1$ mavi, $2$ sarı renkli birim karelerden oluşsun. Benzer fikirlerle, çıkarılan birim kare mavi renkli olmak zorundadır diyebiliriz. O halde çıkarılan birim kare, yatay mavi şeritlerle, dikey mavi şeritlerin arakesitinde olabilir. Bu şekilde $9$ nokta vardır. Bu $9$ tane noktanın her birinin $5\times 5$ kareden çıkarılabilir olduğunu aşağıdaki örneklerden görüyoruz.


Bu şekilleri tahtanın merkezi etrafında $90^\circ$ döndürerek toplam $9$ mavi noktanın çıkarılabilir olduğunu anlarız.
« Son Düzenleme: Ağustos 21, 2022, 08:54:38 ös Gönderen: Metin Can Aydemir »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal