2004 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 05

[matematikolimpiyati]

$60^{50}$'nin böleni olup, $50^{60}$'ın böleni olmayan pozitif sayıların sayısı $n$ olsun. $n$ sayısının $50$ ile bölümünden kalan nedir?

$\textbf{a)}\ 40  \qquad\textbf{b)}\ 32  \qquad\textbf{c)}\ 35  \qquad\textbf{d)}\ 30  \qquad\textbf{e)}\ 48$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

$60^{50}=2^{100}\cdot 3^{50}\cdot 5^{50}$'nin $101\cdot 51\cdot 51$ tane pozitif böleni vardır. Hem $60^{50}$'nin hem de $50^{60}$'ın böleni olan bir sayı aynı zamanda $$EBOB(60^{50},50^{60})=EBOB(2^{100}\cdot 3^{50}\cdot 5^{50},2^{60}\cdot 5^{120})=2^{60}\cdot 5^{50}$$ sayısının bölenidir. Bu şekilde $61\cdot 51$ sayı vardır. Yani $n=101\cdot 51\cdot 51-61\cdot 51$'dir. $$n\equiv 1\cdot 1\cdot 1-11\cdot 1\equiv 40\pmod{50}$$ bulunur.