Gönderen Konu: Tübitak Ortaokul 2. Aşama 1996 Soru 2  (Okunma sayısı 1508 defa)

Çevrimdışı matematikolimpiyati

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1.560
  • Karma: +4/-0
Tübitak Ortaokul 2. Aşama 1996 Soru 2
« : Mayıs 11, 2022, 02:35:34 öö »
Yalnızca $1$, $6$ ve $9$ rakamları kullanarak yazılan pozitif tam sayıları $1,6,9,11,16,...$ diye küçükten büyüğe doğru dizelim.

a) $1996$ nın bu dizinin kaçıncı terimi olduğunu bulunuz.

b) Bu dizinin $1996$ ıncı terimini bulunuz.

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2.632
  • Karma: +9/-0
Ynt: Tübitak Ortaokul 2. Aşama 1996 Soru 2
« Yanıtla #1 : Ekim 08, 2024, 10:04:41 ös »
$a)$
Cevap: $\boxed {65}$

$k$ basamaklı sayıların sayısı $n_k$ olsun.
$n_1=3$, $n_k=3n_{k-1}$, $n_k=3^k$ bağıntısını elde ederiz.
En fazla $k$ basamaklı sayıların sayısı $M_k$ olsun.
$M_1=3$, $M_2=3^2+3=12$, $M_3=3^3+12=39$.
$1999$ sayısı $M_3+n_3=39+27=66$. sayıdır.
O zaman $1996$ da $65.$ sayıdır.

$b)$
Cevap: $\boxed {6191661}$
$M_6=3^6+3^5+3^4+3^3+3^2+3=\dfrac{3^7-3}{3-1}=1092$.
olduğu için aradığımız sayı $7$ basamaklıdır.
$1996-1092=904$ olduğu için $7$ basamaklı $904.$ sayıyı bulacağız.
Bu aşamada $1\to 0$, $6\to 1$, $9\to 2$ dönüşümlerini yapalım.
$0000000$, $0000001$, $0000002$, $0000010$, $\ldots$, $2222222$, $\ldots$ dizisindeki $904.$ elemanı bulmaya çalışıyoruz. Bu da $(903)_{10}=(1020110)_3$ sayısıdır.
Dönüşümü geri alırsak $1020110 \to 6191661$ elde ederiz.


 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal