$a)$
Cevap: $\boxed {65}$
$k$ basamaklı sayıların sayısı $n_k$ olsun.
$n_1=3$, $n_k=3n_{k-1}$, $n_k=3^k$ bağıntısını elde ederiz.
En fazla $k$ basamaklı sayıların sayısı $M_k$ olsun.
$M_1=3$, $M_2=3^2+3=12$, $M_3=3^3+12=39$.
$1999$ sayısı $M_3+n_3=39+27=66$. sayıdır.
O zaman $1996$ da $65.$ sayıdır.
$b)$
Cevap: $\boxed {6191661}$
$M_6=3^6+3^5+3^4+3^3+3^2+3=\dfrac{3^7-3}{3-1}=1092$.
olduğu için aradığımız sayı $7$ basamaklıdır.
$1996-1092=904$ olduğu için $7$ basamaklı $904.$ sayıyı bulacağız.
Bu aşamada $1\to 0$, $6\to 1$, $9\to 2$ dönüşümlerini yapalım.
$0000000$, $0000001$, $0000002$, $0000010$, $\ldots$, $2222222$, $\ldots$ dizisindeki $904.$ elemanı bulmaya çalışıyoruz. Bu da $(903)_{10}=(1020110)_3$ sayısıdır.
Dönüşümü geri alırsak $1020110 \to 6191661$ elde ederiz.