Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2021 Soru 01

[Lokman Gökçe]

$|AB|=|AC|$ olan bir $ABC$ üçgeninin $[BC]$ kenarı üzerinden alınan $D$ ve $E$ noktaları için $|BD|=|DE|=|EC|$ eşitlikleri sağlanmaktadır. Buna göre,

$
\begin{array}{rcll}
\text{I.} & & s(\widehat{ADB})=s(\widehat{AEC}) \\
\text{II.} & & s(\widehat{BAC})=3 \cdot s(\widehat{DAE}) \\
\text{III.} & & |AD|=|CD| \\
\text{IV.} & & |AB|=|DE|
\end{array}$

ifadelerinden hangileri doğru olabilir?

$\text{a)}\ \text{I ve IV} \quad \quad \qquad \text{b)}\ \text{I ve III}  \quad \quad \qquad\text{c)}\ \text{II ve IV}  \quad \quad \qquad\text{d)}\ \text{I ve II}  \quad \quad \qquad\text{e)}\ \text{I, III ve IV} $

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{B}$



$\text{I.}$ $ABD \cong ACE$ kenar-açı-kenar eşliğinden dolayı $s(\widehat{ADB})=s(\widehat{AEC})$ eşitliği daima doğrudur.

$\text{II.}$ Eğer $s(\widehat{BAC})=3\cdot s(\widehat{DAE})$ olursa, $s(\widehat{BAD})=s(\widehat{DAE})=s(\widehat{CAE})$ olurdu. $ABE$ üçgeninde $[AD]$ kem açıortay hem de kenarortay olduğundan $AD\perp BC$ olur. $ADC$ üçgeninde $[AE]$ kem açıortay hem de kenarortay olduğundan $AE\perp BC$ olur. $A$ noktasından $BC$ ye iki farklı dikme çizilemediğinden bu bir çelişkidir. Böylece $s(\widehat{BAC})=3\cdot s(\widehat{DAE})$ eşitliğinin sağlanması mümkün değildir.

$\text{III.}$ $|BD|=|DE|=|EC|=x$ değeri verilirse $ABC$ ikizkenar üçgeninin $A$ dan inen yüksekliği keyfi olarak değiştirilebildiğinden $|AD|=|AE|=2x$ olacak şekilde bir yükseklik ($x$'e bağlı olarak) belirlenebilir. $|AD|=|AE|=2x$  olan yalnız bir üçgen vardır. Bu çizim mümkündür.

$\text{IV.}$ $ABD$ geniş açılı üçgen olduğundan $|AB|>|BD|$ dir. $|BD|=|DE|$ olduğundan $|AB|>|DE|$ elde edilir. $|AB|=|DE|$ eşitliği mümkün değildir.