Tübitak Lise 1. Aşama 2021 Soru 01

[Metin Can Aydemir]

$AB \parallel CD$ olan bir $ABCD$ yamuğunda $|CD|=6$, $|AC|=3\sqrt{2}+\sqrt{6}$ ve $|BC|=2\sqrt{3}+2$ eşitlikleri sağlanmaktadır. $m(\widehat{DAC})=m (\widehat{DCB})$ ise, $|AB|$ kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 3
\qquad\textbf{b)}\ \sqrt{5}
\qquad\textbf{c)}\ \sqrt{3}
\qquad\textbf{d)}\ \sqrt{6}-1
\qquad\textbf{e)}\ 2
$

[Metin Can Aydemir]

Cevap:$\boxed{E}$

$A$ noktasından geçen ve $BC$'ye paralel olan doğru $CD$'yi $E$'de kessin. $ABCE$ paralelkenardır ve $m(\widehat{BAC})=\alpha$, $m(\widehat{BCA})=\beta$ dersek, açılar şekildeki gibi olur. $ABC$ ve $ADC$ üçgenlerinde sinüs teoreminden $\dfrac{2\sqrt{3}+2}{\sin{\alpha}}=\dfrac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{\sin{(\alpha+\beta)}}$ ve $\dfrac{6}{\sin{(\alpha+\beta)}}=\dfrac{|AD|}{\sin{\alpha}}$ elde edilir. Bu iki eşitlikten $|AD|=2\sqrt{6}$ bulunur. $m(\widehat{AED})=\alpha+\beta$ olduğundan $AED$ ile $CAD$ benzerdir. $$\dfrac{|DE|}{|AD|}=\dfrac{|AD|}{|DC|}\Longrightarrow \dfrac{6-x}{2\sqrt{6}}=\dfrac{2\sqrt{6}}{6}\Longrightarrow x=2$$ bulunur. $|AB|=2$'dir.

[geo]

$DA$ ile $BC$ doğruları $E$ noktasında kesişsin. $\angle DAC = \angle DCB \Longrightarrow \angle CAE = \angle ABC \Longrightarrow \angle AEC = \angle CAB$ olacaktır.
Bu da $AC^2 = BC \cdot EC$ olmasını gerektirir. $AC = \sqrt 6 (\sqrt 3 + 1)$ ve $BC = 2(\sqrt 3 + 1)$ olduğu için $EC = 3(\sqrt 3 + 1)$ ve $AE = \sqrt 3 + 1$. $AB:DC=EB:EC$ olduğu için $AB = 2$ elde edilir.