Fantezi Cebir > Fantezi Cebir Arşivi

Avusturya Polonya M.O.-1994

(1/1)

Kerem123:
Her $x$ reel sayısı için, $f(x+19)\leq f(x)+19$ ve $f(x+94)\geq f(x) + 94$ eşitsizliklerini sağlayan reel değerli $f$ fonksiyonunun her $x$ reel sayısı için, $f(x+1)=f(x)+1$ eşitliğini sağladığını gösteriniz.

Metin Can Aydemir:
Verilen eşitsizlikleri birleştirerek yeni eşitsizlikler oluşturalım. $$f(x+94)\geq f(x)+19+75\geq f(x+19)+75$$ olur. Fonksiyon her $x$ reel sayısı için tanımlandığı için $x+19$ yerine $x$ yazabiliriz. $$f(x+75)\geq f(x)+75$$ elde edilir. Aynı işlemi uygulayalım, $$f(x+75)\geq f(x)+19+56\geq f(x+19)+56\Rightarrow f(x+75)\geq f(x+19)+56$$ $$\Rightarrow f(x+56)\geq f(x)+56$$ olur. Bu işlemi birkaç kez daha tekrar ettirirsek, $$f(x-1)\geq f(x)-1$$ elde ederiz. Yani $f(x)+1\geq f(x+1)$ olur. Bu eşitsizliği kullanalım. $$f(x+94)\leq f(x+93)+1\leq f(x+92)+2\leq \cdots \leq f(x)+94 \tag{1}$$ $$\Rightarrow f(x+94)\leq f(x)+94 $$ olur. Soruda $f(x+94)\geq f(x)+94$ verildiğinden $f(x+94)= f(x)+94$ olmalıdır. $(1)$'de sınırlardaki ifadeler eşit olduğundan aradaki ifadeler de birbirine eşit olmalıdır. Dolayısıyla $f(x+94)=f(x+93)+1$ olmalıdır. $x+93$ yerine $x$ yazarsak $$f(x+1)=f(x)+1$$ bulunur.

Kerem123:
Metonster  soruları gerçekten çok iyi çözüyorsun acaba hangi kaynakları kullanıyorsun Türkçe olarak

Navigasyon

[0] Mesajlar