Rasal Sayı

[MATSEVER 27]

Bir $n$ sayısına eğer $5n=3p+q$ şekilde $p,q$ asalları bulunabiliyorsa rasal sayı diyelim.
$$(l+3).(m+5).(m+23)=3^n$$
olacak şekilde kaç $(l,m)$ rasal sayı ikilisi vardır?

[Metin Can Aydemir]

Çarpım sonucu $3$'ün kuvveti olduğu için çarpanları da $3$'ün kuvveti olmalıdır.Buradan, $$l=3^a-3,m=3^b-5=3^c-23$$ formatları bulunur.
$$m=3^b-5=3^c-23\Rightarrow 3^c-3^b=3^b(3^{c-b}-1)=18\Rightarrow b=2,c=3,m=4$$ bulunur.$5\cdot 4=3\cdot 3+11$ olduğundan $4$ rasal sayıdır.
$l=3^a-3$'nin rasal sayı olması için $5(3^a-3)=3p+q$ olacak şekilde $p$ ve $q$ bulunması gerekir. İfadeye $mod3$ de bakarsak $q=3$ bulunur.Sadeleştirme yapılırsa, $$5(3^{a-1}-1)=p+1$$ bulunur.İfadeye $mod3$ de bakarsak $$5\cdot 3^{a-1}-5\equiv 5\cdot 3^{a-1}+1\equiv p+1 (mod3)\Rightarrow 5\cdot 3^{a-1}\equiv p (mod3)$$ bulunur. Buradan,$p=3$ bulunur fakat buradan çözüm gelmez.Dolayısıyla böyle bir $l$ yoktur. Çözüm yoktur.