Geomania Olimpiyat Denemeleri > Geomania Olimpiyat Denemeleri

II. Aşama denemesi

(1/2) > >>

AtakanCİCEK:
Soruların Tüm Çözümlerini $30.08.2019$ da paylaşacağım.


1. gün


$1)$ Verilen iki çemberin $A$ değme noktasından, bu çemberler içinde kalmak üzere, uzunlukları oranı verilen $AB$ ve $AD$ gibi iki kiriş ile çemberlerin $O$ ve $C$ merkezlerinden bu kirişlere dikler çiziliyor. Bu iki dikin $M$  kesim noktasının geometrik yerini bulunuz.


$2)$ $f(0)=2$ ve $h(0)=1$ olmak üzere , her $x,y$ reelleri için

$$(x-y).f(x)-xy+y^2\le h(y)-h(x) \le (x-y). g(x) -xy+y^2$$  eşitsizliklerini sağlayan tüm $f,g,h:R\rightarrow R$ fonksiyonlarını bulunuz.



$3)$ $m$ ve $n$ pozitif tam sayılar olsun. O zaman

$$\dfrac{(mn)!}{m!.(n!)^m}$$  ifadesinin bir pozitif tam sayı olduğunu ispatlayınız.


2. gün

$4)$  Her $a,b,c\in R$ için

$$a^4+b^4+c^4\ge a^2bc+b^2ac+c^2ab$$ eşitsizliğinin doğruluğunu gösteriniz.



$5)$ Bir çember etrafına yerleştirilmiş $50$ kutuya  adım adım aşağıdaki işlemler uygulanıyor.

Birinci adımda kutulardan biri seçiliyor ve o kutunun içine $1$ top konuluyor.

İkinci adımda , $1$ top konulan kutudan saat yönünde bir kutu boş bırakılıyor ve ikinci kutuya $2$ top konuluyor.

Üçüncü adımda , İki top konulan kutudan sonraki iki kutu atlanıyor ve üçüncüsüne $3$ top konuluyor.

.
.
.
k-ıncı adımda  $k-1$  top konulan kutudan sonraki $k-1$  kutu atlanıyor ve k-ıncı kutuya $k$ tane top konuluyor.  $99.$  adımda top  konulan kutuda toplam kaç top birikmiş olur ?



$6)$  Bir çember ile dışında bir $D$ doğrusu ve doğrunun, çemberi içermeyen tarafında bir $S$ noktası alınıyor. Bu noktadan öyle bir kesen geçiriniz ki , doğruyu $A$ da ve çemberi $B$ de kestiğine göre

$$\dfrac{\mid SA\mid}{\mid SB\mid}=\dfrac{2}{5}$$ olsun.

Metin Can Aydemir:
$2)$ $x>y$ için $$(x-y)f(x)-xy+y^2\leq (x-y)g(x)-xy+y^2 \Rightarrow f(x)\leq g(x)$$ $x<y$ için $$(x-y)f(x)-xy+y^2\leq (x-y)g(x)-xy+y^2 \Rightarrow f(x)\geq g(x)$$ olur, yani $f(x)=g(x)$ olur. Yani $(x-y).f(x)-xy+y^2= h(y)-h(x)$ olur. $y=0$ için, $$xf(x)=1-h(x)\Rightarrow h(x)=1-xf(x)$$ olur, yerine yazarsak, $$(x-y)f(x)-xy+y^2=xf(x)-yf(y)\Rightarrow y-x=f(x)-f(y)$$ $y=0$ için $f(x)=2-x$ olur.

Tüm fonksiyonlar, $f(x)=g(x)=2-x$ ve $h(x)=x^2-2x+1=(x-1)^2$'dir.

Squidward:
$3)$

$mn$ kişiyi $m$ tane özdeş $n$ kişilik gruplara ayırmanın sayısı verilen ifadeye eşittir.

AtakanCİCEK:
İspatını da eklersen tam olur $2.$ aşama denemesi olduğu için ispatı da gereklidir.

Squidward:

--- Alıntı yapılan: Squidward - Ağustos 24, 2019, 06:18:19 ös ---$3)$

$mn$ kişiyi $m$ tane özdeş $n$ kişilik gruplara ayırmanın sayısı verilen ifadeye eşittir.


--- Alıntı sonu ---

İspat:

$mn$ kişiyi $m$ tane özdeş $n$ kişilik gruplara ayırmanın sayısını hesaplayalım ve eşit olduklarını görelim,

İlk grup için $n$ kişiyi, ikinci grup için $n$ kişiyi, ..., m'inci grup için $n$ kişiyi seçelim.

$\binom{mn}{n} \cdot \binom{mn-n}{n} \cdot \binom{mn-2n}{n} \cdot \dots \cdot \binom{mn - (m-1)n}{n}$ bu ifade de, 

$\dfrac{(mn)!}{(n!)^m}$'ye eşittir fakat grupların birbirleri arasındaki dizilimleri önemsiz olduğundan $m!$'e bölünmelidir yani sayı,

$\dfrac{(mn)!}{m!(n!)^m}$'e eşit olur ve açıkça bir tamsayıdır. $\blacksquare$

Navigasyon

[0] Mesajlar

[#] Sonraki Sayfa