Gönderen Konu: İsbo 2018 pr 4 {çözüldü}  (Okunma sayısı 4736 defa)

Çevrimdışı Lokman Gökçe

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3.717
  • Karma: +23/-0
  • İstanbul
İsbo 2018 pr 4 {çözüldü}
« : Ekim 03, 2019, 10:10:54 öö »
Kırmızı, sarı ve mavi renkli toplardan altışar tane bulunan $18$ top arasından rastgele seçilen $7$ top çembersel bir sırada diziliyor. Mümkün dizilişlerin sayısı nedir?

$\textbf{a)}\ 213 \qquad\textbf{b)}\ 216  \qquad\textbf{c)}\ 312 \qquad\textbf{d)}\ 340 \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri} $
« Son Düzenleme: Ekim 03, 2019, 10:31:50 öö Gönderen: scarface »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı Lokman Gökçe

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3.717
  • Karma: +23/-0
  • İstanbul
Ynt: İsbo 2018 pr 4
« Yanıtla #1 : Ekim 03, 2019, 10:31:01 öö »
Yanıt: $\boxed{C}$

Çözüm (Lokman GÖKÇE):

Aynı renkli topların özdeş olduğu belirtilmemiş ancak seçeneklerdeki sayıları incelersek özdeş toplar düşünülerek sorunun kurgulandığını anlarız. Yine de bu durum soruda belirtilse daha uygun olurdu. Şimdi buna göre sorunun çözümüne geçelim.

$7$ asal sayı olduğu için topları düz bir sıraya dizer gibi dizip tüm bu durumların sa yısını $\dfrac{1}{7}$ ile çarparak dairesel sıralamaların sayısını hesaplayabiliriz. Kırmızı, sarı, mavi renkli toplardan sırasıyla $k$, $s$ ve $m$ tane seçilmiş olsun.

$k=6$, $s=1$ için $\dfrac{1}{7}\cdot \dfrac{7!}{6!}$ durum vardır. Benzer durumlar $k=1$, $s=6$ ve diğer renk kombinasyonları için de geçerli olduğundan $2\cdot 3=6$ ile çarparız. Böylece $$ \dfrac{1}{7}\cdot \dfrac{7!}{6!}\cdot 6 = 6$$ durum vardır.

$k=5$, $s=2$ ve diğer renk kombinasyonları için $$ \dfrac{1}{7}\cdot \dfrac{7!}{5!2!}\cdot 6 = 18 $$ durum vardır.

$k=5$, $s=1$, $m=1$ ve diğer renk kombinasyonları için $$ \dfrac{1}{7}\cdot \dfrac{7!}{5!1!1!}\cdot 3 = 18 $$ durum vardır.

$k=4$, $s=3$ ve diğer renk kombinasyonları için $$ \dfrac{1}{7}\cdot \dfrac{7!}{4!3!}\cdot 6 = 30 $$ durum vardır.

$k=4$, $s=2$, $m=1$ ve diğer renk kombinasyonları için $$ \dfrac{1}{7}\cdot \dfrac{7!}{4!2!1!}\cdot 6 = 90 $$ durum vardır.

$k=3$, $s=3$, $m=1$ ve diğer renk kombinasyonları için $$ \dfrac{1}{7}\cdot \dfrac{7!}{3!3!1!}\cdot 3 = 60 $$ durum vardır.

$k=3$, $s=2$, $m=2$ ve diğer renk kombinasyonları için $$ \dfrac{1}{7}\cdot \dfrac{7!}{3!2!2!}\cdot 3 = 90 $$ durum vardır.

Toplam dairesel sıralama sayısı $6 + 18 + 18 + 30 + 90 + 60 + 90 =312 $ elde edilir. $\blacksquare $
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal