Tübitak Ortaokul 2. Aşama 2008 Soru 3

[ERhan ERdoğan]

Bir masa üstündeki $24$ tane bardaktan tam olarak üç tanesi ters çevrilmiştir. Her işlemde herhangi dört bardağı çevirebiliyoruz. En fazla $100$ işlem yaparak bütün bardakları düz hale getirilebilir miyiz?

[geo]

Cevap: Hayır.

Ters bardaklara $1$ puan, düz bardaklara $0$ puan verelim.
$P_n$ ile $n$. adımdaki toplam puanı gösterelim. $P_0=3$ tür. $P_{k\leq 100}=0$ olabilir mi, bunu merak ediyoruz.
$4$ ters bardağı düz yaptığımızda, puan $4$ azalır.
$3$ ters bardağı, $1$ düz bardağı çevirdiğimizde puan $2$ azalır.
$2$ ters, $2$ düz bardak çevrildiğinde puan değişmez.
$1$ ters, $3$ düz bardak çevrildiğinde puan $2$ artar.
$4$ düz bardak çevrildiğinde puan $4$ artar.
Bu durumda her adımda puan çift sayıda değiştiği için hiçbir adımda puan çift olamaz. O halde $P_k\neq 0$ dır.