Tübitak Ortaokul 2. Aşama 2007 Soru 1

[ERhan ERdoğan]

$AD\parallel BC$ ve $|AB|=|BC|$ olan bir $ABCD$ yamuğunda $[BC]$ ve $[AD]$ kenarlarının orta noktaları sırasıyla $E$ ve $F$ dir. $\widehat{ABC}$ nin iç açıortayı $F$ noktasından geçtiğine göre, $|BD|/|EF|$ yi bulunuz.

[geo]

Cevap: $\boxed 2$

$|BE|=|CE|=1$ olsun. $|AB|=2$.
$\angle ABF = \angle EBF = \angle AFB$ olduğu için $|AB|=|AF|=2$. Bu durumda $|AD|=4>|BC|=2$ olacağı için $[AB$ ile $[DC$ ışınları kesişir. Bu kesişim noktası $G$ olsun.
$|BC|/|AD|=1/2$ olduğu için $GA=GD=4$ ve $\triangle GAD$ eşkenar üçgendir. $[GF]$ ve $[DB]$ bu eşkenar üçgenin yükseklikleri olduğu için $\dfrac{|BD|}{|EF|}=\dfrac{|GF|}{|EF|}=2$.