Fantezi Geometri > Fantezi Geometri Arşivi
Geometri Çalışma Soruları 3
(1/1)
MATSEVER 27:
Geometri Çalışma Kağıdı 3 $17.02.16$
$\textit{Problem 1}$
$P$ noktası $ABC$ üçgeninin $[BC]$ kenarı üzerinde $AP$ doğrusu $\angle{BAC}$ açısının açıortayı olacak şekilde alınmış bir noktadır. $[AP]$ nin orta noktası $M$ olsun. $A$ dan $[BC]$ ye inilen dikin ayağı $Q$ noktasıdır. $PMQ$ üçgeninin çevrel çemberi $CM$ doğrusunu $Z$ noktasında kesiyor. Buna göre $A,Z,Q,B$ noktalarının çembersel olduğunu kanıtlayınız.
$\textit{Problem 2}$
$I$ merkezli $\omega$ çemberi $ABC$ üçgeninin içteğet çemberi olmak üzere $\omega_A$ çemberi $\omega$ çemberine dıştan teğet $[AB]$ ve $[AC]$ kenarlarına sırasıyla $A_1$ ve $A_2$ noktalarında teğet olan çemberdir. Benzer biçimde $B_1,B_2,C_1,C_2$ noktaları tanımlanıyor. $A_1A_2,B_1B_2$ ve $C_1C_2$ doğrularının belirlediği üçgen $XYZ$ üçgeni ise $XYZ$ üçgeninin içteğet çemberinin merkezinin, çevrel çemberinin merkezinin ve $I$ noktasının doğrusal olduğunu gösteriniz.
$\textit{Problem 3}$
$ABC$ üçgeninde $[AH]$ bir yükseklik ve $O$ çevrel çemberin merkezi olmak üzere $H$ dan geçen ve $OH$ doğrusuna dik olan doğru $CA$ ve $AB$ doğrularını sırasıyla $E$ ve $F$ noktalarında kesiyor. $OFB,OHB,OEC,OHC$ üçgenlerinin diklik merkezleri sırasıyla $M,N,P,Q$ noktalarıysa $MN,PQ,EF$ doğrularının noktadaş olduğunu kanıtlayınız.
$\textit{Problem 4}$
$|AC|= |BC|$ olan bir $ABC$ üçgeninin içinde $\angle{{PAB}}= \angle{{PBC}}$ olacak şekilde bir $P$ noktası alınıyor. $M$ noktası $[AB]$ kenarının orta noktası ise $\angle{{APM}}+\angle{{BPC}}=180$ olduğunu gösteriniz.
$\textit{Problem 5}$
İkizkenar olmayan bir $ABC$ üçgeninin çevrel çemberi $\Gamma$ olsun. $\angle{BAC}$ açısının açıortayı $[AC]$ kenarını $D$ noktasında ve $\Gamma$ çemberini $L$ noktasında kesiyor. $D$ noktasının $[BC]$ kenarının orta noktasına göre yansıması $E$ noktası ve $[PQ]$ doğru parçası da çemberin çapı olmak üzere $BC$ doğrusuna sırasıyla $D$ ve $E$ noktalarında dik olan doğrular $AP$ ve $QL$ doğrularını $X$ ve $Y$ noktalarında kesiyor. Buna göre $BXYC$ dörtgeninin kirişler dörtgeni olduğunu gösteriniz.
$\textit{Problem 6}$
Bir $ABC$ üçgeninde $E$ ve $F$ noktaları $[AC]$ ve $[AB]$ kenarı üstünde noktalar olmak üzere $[BE]$ ve $[CF]$ açıortayları $I$ noktasında kesişiyor. $AI$ doğrusu $ABC$ üçgeninin çevrel çemberini $A$ dan farklı bir $D$ noktasında kesiyor. $EF$ doğrusu ise $ABC$ üçgeninin çevrel çemberi ile sırasıyla $M$ ve $N$ noktalarında kesiyor. $MI$ ve $NI$ doğruları $ABC$ üçgeninin çevrel çemberiyle $P$ ve $Q$ noktalarında kesişiyor. $PQ$ doğrusu $AB$ ve $AC$ doğrularını sırasıyla $K$ ve $L$ noktalarında kesiyor. Buna göre $ABC$ ve $AKL$ üçgenlerinin çevrel çemberlerinin birbirine teğet olduğunu gösteriniz.
$\textit{Problem 7}$
$ABC$ üçgeninin $[BC]$ ye teğet olan dışteğet çemberin merkezi $J$ olmak üzere $A$ ve $B$ noktalarından geçen bir çember $J$ merkezli dış teğet çembere $M$ noktasında teğet, $A$ ve $C$ noktalarından geçen bir çember ise $J$ merkezli dış teğet çembere $N$ noktasında teğettir. $BM$ ve $CN$ doğruları $P$ noktasında kesişiyor. $[BC]$ kenarına ve $ABC$ nin çevrel çemberine teğet olan çember $\Omega$ ise $AP$ doğrusunun $\Omega$ çemberine teğet olduğunu gösteriniz.
$\textit{Problem 8}$
Düzlemde $P_1,P_2,P_3,$ $...$ $P_n$ noktaları her $i,j$ $\in$ $[1,n]$ için $|P_iP_j|$ $=$ $|i-j|$ olacak biçimde alınmıştır. Düzlemde alınan bir başka $Q$ noktası için $|QP_2|^2$ $-$ $|QP_1|^2$ $=$ $4$ ise $|QP_n|^2$ $-$ $|QP_{n-1}|^2$ in kaç olduğunu belirleyiniz.
$\textit{Problem 9}$
Bir $ABC$ üçgeninde $[AH]$ yüksekliği üzerinde bir $P$ noktası alınıyor. $E$ ve $F$ noktaları sırasıyla $[AC]$ ve $[AB]$ kenarının orta noktaları olacak şekilde alınıyor. $E$ noktasından $CP$ ye inilen dik ve $F$ noktasından $BP$ ye inilen dik bir $K$ noktasında kesişiyorsa $|KB|$ $=$ $|KC|$ olduğunu gösteriniz.
$\textit{Problem 10}$
$s(BCA)$ $=$ $90$ olan bir $ABC$ üçgeninde $C$ noktasından $[AC]$ kenarına inilen dikin ayağı $D$ noktası olsun. $[CD]$ üstünde bir $X$ noktası alalım. $[AX]$ doğru parçası üzerinde $K$ noktasını $|BK|$ $=$ $|BC|$ olacak şekilde alalım. Benzer şekilde $L$ noktasını da $[BX]$ üzerinde $|AL|$ $=$ $|AC|$ olacak şekilde alalım. $DKL$ üçgeninin çevrel çemberinin $AB$ doğrusunu ikinci kez kestiği nokta $D$ den farklı $T$ noktası olsun. Buna göre $m(\widehat{ACT})$ $=$ $m(\widehat{BCT})$ olduğunu gösteriniz.
Ege Sarıbaş:
Problem 9'un çözümü:
AH ile FE'nin kesişimine X, FK ile BP'nin kesişimine Y,
EK ile PC'nin kesişimine Z diyelim. Köşegenleri dik kesişen dörtgenlerin karşılıklı kenarlarının kareleri toplamı eşittir. (Pisagor teoreminden rahatlıkla ispatlanabilir.) Bu özelliği EPKC ve FPKB'de kullanırsak
KC² + PE² = EC² + PK²
KB² + PF² = BF² + PK²
eşitliklerine ulaşırız. Eşitliği taraf tarafa çıkarıp
KC² - KB² yi yalnız bırakırsak
KC² - KB² = PF² - PE² + EC² - BF² olur.
BF = AF ve EC = AE olduğundan
KC² - KB² = PF² - PE² + AE² - AF² olur.
AFX ve AEX'te pisagordan ve PFX ve PEX'te pisagordan
AE² - AF² = EX² - FX² ve
PF² - PE² = FX² - EX² olur. Eşitlikte yerine yazarsak
KC² - KB² = FX² - EX² + EX² - FX² = 0 olur.
KC = KB bulunur.
Ege Sarıbaş:
Problem 1'in çözümü:
m(QAM) = a, m(MQZ) = b olsun. m(MPQ) = m(MZQ) = 90 - a ve m(MPZ) = b olduğu kolayca görülebilir. Açı yazmaya ve çemberde açı bilgilerini kullanmaya devam edersek m(ZMP) = m(ZQP) = 90 - a - b olduğu görülür. m(MPQ) = 90 - a olduğundan m(MCP) = b olur. Dolayısıyla m(MPZ) = m(MCP) olduğundan:
MZP ~ MPC olur. Benzerlikten CM/MP = MP/MZ olur. MP = MA olduğundan CM/MA = MA/MZ bulunur. Buradan AMZ ~ CMA olduğu anlaşılır. Dolayısıyla m(CAM) = m(AZM) olur. m(BAQ) = c olsun. O zaman m(CAM) = m(AZM) = a + c olur. Buradan m(AZQ) = 90 + c olur. AQB dik üçgen olduğundan m(ABQ) = 90 - c olur.
m(ABQ) + m(AZQ) = 180 olduğundan AZQB kirişler dörtgenidir, ispat biter.
Navigasyon
[0] Mesajlar
Tam sürüme git