Fantezi Geometri > Geometri-Teorem ve İspatlar

Desargues Teoremi

(1/1)

ERhan ERdoğan:
$ABC$ ve $A'B'C'$  iki üçgen olsun. $AA' , BB'$ ve $CC'$ doğruları noktadaş ise, $P=AB \cap A'B' \ ,\ Q=AC \cap A'C'$ ve $R=BC \cap B'C'$ noktaları doğrusaldır.

Lokman Gökçe:
Aslında teorem çift yönlüdür: $AA', BB', CC'$ doğrularının noktadaş olması için gerek ve yeter şart $P, Q, R$ noktalarının doğrusal olmasıdır.


$AA', BB' CC'$ doğrularının $O$ da noktadaş olduğunu kabul edelim.

$OAB$ üçgeni için $\overline{A'B'P}$ bir kesendir. Menelaus teoreminden $$ \dfrac{OA'}{A'A}\cdot  \dfrac{AP}{PB}\cdot \dfrac{PB'}{B'P} = 1 \tag{1}$$

$OAC$ üçgeni için $\overline{A'C'Q}$ bir kesendir. Menelaus teoreminden $$ \dfrac{OA'}{A'A}\cdot  \dfrac{AQ}{QC}\cdot \dfrac{CC'}{C'O} = 1 \tag{2}$$

$OBC$ üçgeni için $\overline{B'C'R}$ bir kesendir. Menelaus teoreminden $$ \dfrac{OB'}{B'B}\cdot  \dfrac{BR}{RC}\cdot \dfrac{CC'}{C'Q} = 1 \tag{3}$$

olup $(1), (2), (3)$ eşitliklerinden

$$  \dfrac{AP}{PB}\cdot  \dfrac{BR}{RC}\cdot \dfrac{CQ}{CA} = 1 $$

olur. Menelaus teoreminin karşıtından dolayı $\overline{P Q R} $ nin $ABC$ üçgeni için bir kesen olduğunu anlarız.


$P, Q, R$ noktalarının doğrusal olduğunu kabul edelim.  $AA', BB'$ doğruları $O$ noktasında ve  $AA', CC'$ doğruları $O'$ noktasında kesişsin. Benzer işlemlerle $\dfrac{OA'}{OA} = \dfrac{O'A'}{O'A} $ eşitliğine ulaşılabilir. Böylece $O \equiv O$ çakışık noktalar olur.  $AA', BB' CC'$ doğrularının noktadaş olduğunu anlarız.

Navigasyon

[0] Mesajlar