Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1976 Soru 4

[ERhan ERdoğan]

Toplamları $1976$ olan pozitif tam sayıların çarpımı şeklinde ifade edilebilecek en büyük sayıyı (ispatlayarak) belirleyiniz.

[alpercay]

Çözüm Sercan Yılmaz (matkafası)'a ait.

(1)
Elimizde bir $n$ tam sayı olsun. Eğer $n\ge 4$ ise $$2(n-2)\ge n$$ olacağından çarpımda $3$ten büyük bir $n$ tam sayısı varsa bunu $2$ ve $n-2$ olarak parçalamak gerekir.

Dolayısıyla çarpanların $2$ ve $3$ olması gerekir.

(2)
$2+2+2=3+3$ ve $2^3<3^2$ olduğundan iki taneden fazla $2$ barındıran bir çarpan seçmememiz gerekir.

Bu soru için, maksimize etmek istediğimizde, $$3^{658}\cdot 2$$ değerini elde ederiz.