Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2014 Soru 26

[Lokman Gökçe]

Farklı üç pozitif tam sayı böleninin toplamı kendisine eşit olan $2014$ ten küçük kaç pozitif tam sayı vardır?

$
\textbf{a)}\ 77
\qquad\textbf{b)}\ 165
\qquad\textbf{c)}\ 258
\qquad\textbf{d)}\ 335
\qquad\textbf{e)}\ 770
$

[Eray]

Yanıt: $\boxed{D}$

Sayımız $a$ olsun. Alacağımız üç pozitif bölen arasında sayının kendisinin olmaması gerektiği açıktır. Çünkü bu durumda herhangi başka bir bölen daha eklendiğinde sayının kendisinden daha büyük bir toplam elde edilir.
Farz edelim ki, alacağımız $3$ bölen arasında sayının yarısı bulunmasın. Bu durumda diğer bölenlerden elde edilebilecek en büyük toplam = $\dfrac{a}{3}+\dfrac{a}{4}+\dfrac{a}{5}=\dfrac{47a}{60}<a$ olur. O halde sayının yarısı alacağımız bölenler arasında geçmelidir.
Şimdi farz edelim ki, alacağımız diğer $2$ bölen arasında sayının üçte biri bulunmasın. Bu durumda diğer bölenlerden elde edilebilecek en büyük toplam = $\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{4}+\dfrac{a}{5}=\dfrac{19a}{20}<a$ olur. O halde sayının üçte biri de alacağımız bölenler arasında geçmelidir.
Alacağımız iki bölen yarısı ve üçte biri olduğuna göre, son bölen $a-\dfrac{a}{2}-\dfrac{a}{3}=\dfrac{a}{6}$ yani altıda biridir. Yarısı, üçte biri ve altıda biri tamsayı olan her sayı istenen şartı sağlar. O halde aradığımız sayılar $6$'nın katı olan sayılardır. $2014$'ten küçük ve $6$'nın katı olan $\left \lfloor \dfrac{2014}{6}\right \rfloor=335$ sayı bu şartı sağlar.