Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2014 Soru 25

[Lokman Gökçe]

Bir $ABC$ üçgeninin $A$ ve $B$ köşelerinden geçen bir çember $[BC]$ ve $[AC]$ kenarlarını sırasıyla, $D$ ev $E$ noktalarında kesiyor. $[AB]$ ve $[AD]$ nin orta noktaları sırasıyla, $P$ ve $Q$ olsun. $BC$ doğrusunun $A$ ya göre farklı tarafında olan bir $Z$ noktası için, $ZD$ ve $AD$ doğruları birbirine diktir ve $|DZ|=|DP|$ dir. $|AE|=1, |BD|=4$ ve $|DC|=2$ ise, $|ZQ|$ nedir?

$
\textbf{a)}\ 3
\qquad\textbf{b)}\ \sqrt{10}
\qquad\textbf{c)}\ 2\sqrt3
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ 2\sqrt5
$

[Eray]

Yanıt: $\boxed{B}$

$C$ noktasının çembere göre kuvvetlerini yazıp eşitlersek, $|CE|\cdot(|CE|+1)=2\cdot6 \Rightarrow (|CE|-3)(|CE|+4)=0 \Rightarrow |CE|=3$ bulunur.
$|AQ|=|QD|=a, |DP|=|DZ|=b, |AP|=|PB|=c$ olsun. Bizden istenen $|ZQ|=\sqrt{a^2+b^2}$'dir.
$CAB$ üçgeninde $[AD]$'ye göre Stewart Teoremi uygularsak, $\dfrac{4c^2\cdot2+16\cdot4}{6}-4\cdot2=4a^2 \Rightarrow c^2=3a^2-2$ bulunur.
$DAB$ üçgeninde $[DP]$ kenarortay olduğundan kenarortay teoreminden, $2b^2=4a^2+16-\dfrac{4c^2}{2} \Rightarrow b^2=2a^2+8-c^2$  eşitliğinde $c^2$ yerine $3a^2-2$ yazılırsa, $b^2=10-a^2 \Rightarrow a^2+b^2=10 \Rightarrow |ZQ|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{10}$ bulunur.