Gönderen Konu: Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2014 Soru 14  (Okunma sayısı 3586 defa)

Çevrimdışı Lokman Gökçe

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3.716
  • Karma: +23/-0
  • İstanbul
Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2014 Soru 14
« : Mayıs 22, 2014, 06:57:28 ös »
$2^{2014}+3^{2014}+4^{2014}+5^{2014}+6^{2014}$ toplamının $13$ ile bölümünden kalan nedir?

$
\textbf{a)}\ 12
\qquad\textbf{b)}\ 9
\qquad\textbf{c)}\ 6
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ 1
$
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı ERhan ERdoğan

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1.424
  • Karma: +12/-0
Ynt: Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2014 Soru 14
« Yanıtla #1 : Mayıs 24, 2014, 12:15:54 öö »
yanıt: $\boxed{A}$

fermat teoremine göre, $2^{12} \equiv 3^{12} \equiv 4^{12} \equiv 5^{12} \equiv 6^{12} \equiv 1 \pmod{13}$ dür.

Buna göre, $2^{2014}+3^{2014}+4^{2014}+5^{2014}+6^{2014} \equiv 2^{10}+3^{10}+4^{10}+5^{10}+6^{10} \equiv 4^4+(-4)^5+3^5+(-1)^5+(-3)^5 \equiv -1 \equiv 12 \pmod{13}$

Çevrimdışı ERhan ERdoğan

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1.424
  • Karma: +12/-0
Ynt: Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2014 Soru 14
« Yanıtla #2 : Mayıs 24, 2014, 12:27:10 öö »
$2^{2014}+3^{2014}=4^{1007}+9^{1007}=(4+9)(4^{1006}- \cdots +9^{1006})$ ve

$4^{2014}+6^{2014}=16^{1007}+36^{1007}=(16+36)(16^{1006}- \cdots + 36^{1006})$ olduğundan her iki toplamda $13$ ile bölünür.

O halde, $5^{2014}=25^{1007} \equiv (-1)^{1007} \equiv -1 \equiv 12 \pmod{13}$ dir.
« Son Düzenleme: Mayıs 24, 2014, 12:47:12 ös Gönderen: ERhan ERdoğan »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal