Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2014 Soru 09

[Lokman Gökçe]

$|AB|=32$ olmak üzere, $[AB]$ ye ve $[AB]$ çaplı $C_1$ çemberine içten teğet olan $C_2$ çemberinin yarıçapı $8$ birimdir. $[AB]$ ye, $C_2$ ye dıştan ve $C_1$ e içten teğet olan ve $AB$ doğrusuna göre $C_2$ ile aynı tarafta yer alan çemberin yarıçapı kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ 6
$

[Eray]

Yanıt: $\boxed{D}$

(Onat Vuran)

(Ekteki resimden takip ediniz) Soruda tanımlanan son çember $C_3$ olsun. $C_1$ çemberinin merkezi $O$, $C_2$ çemberinin merkezi $K$ olsun. $C_3$ çemberinin merkezi $L$, $[AB]$'ye teğet olduğu nokta $M$, $C_1$ çemberine teğet olduğu nokta $D$ olsun. $[OD]$, $C_3$'ü $P$'de kessin. $L$'den $[AB]$'ye çizilen paralel $[KO]$'yu $N$'de kessin. $|LN|=|MO|=a$ ve bize sorulan veri olan $C_3$ çemberinin yarıçapına $r$ diyelim.

Çözüm: $|KL|=8+r$ ve $|KN|=8-r$ olduğundan $LKN$ üçgeninde Pisagor Teoremi uygulanırsa $a=|LN|=|MO|=\sqrt{32r}$ bulunur. $O$ noktasının $C_3$ çemberine göre iki farklı kuvveti yazılırsa, $|OM|^2=|OP|\cdot|OD| \Rightarrow 32r=(16-2r)\cdot16 \Rightarrow r=4$ bulunur.

[misafirsy]

son kısımda (16-2r)yi 16 neden çarptın anlatabilir misin

[Lokman Gökçe]

son kısımda (16-2r)yi 16 neden çarptın anlatabilir misin

$O$ noktasının küçük çembere göre kuvveti yazıldığı için $|OM|^2=|OP|\cdot |OD|$ işlemi yapılmış.

Alternatif olarak $ONL$ ve $KNL$ üçgenlerinde Pisagor teoremini uygularsanız aynı sonuca ulaşılabilir. Tüm bunların sonucunda (soruyu çözdükten sonra) $|KL|=|OL|$ eşitliği de elde edilir.