Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2014 Soru 31

[Lokman Gökçe]

$a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca=b-c-1$ eşitliğini sağlayan kaç $(a,b,c)$ gerçel sayı üçlüsü vardır?

$
\textbf{a)}\ 4
\qquad\textbf{b)}\ 3
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 1
\qquad\textbf{e)}\ 0
$

[ERhan ERdoğan]

Yanıt: $\boxed{D}$

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$ özdeşliğinden faydalanarak verilen ifadeyi

$a^2+b^2+c^2+\dfrac{(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)}{2} = b-c-1$ şeklinde yazabiliriz.Bu son eşitliği düzenlersek,

$a^2+b^2+c^2+(a+b+c)^2=2b-2c-2$

$a^2+b^2-2b+1+c^2+2b+1+(a+b+c)^2=0$

$a^2+(b-1)^2+(c+1)^2+(a+b+c)^2=0$  bu eşitlik sadece $a=0 , b=1 , c=-1$  değerleri için sağlanmaktadır.

O halde tek çözüm $(0,1,-1)$ üçlüsüdür.   

[taftazani44]

31. Soruda tüm ifadeler bir tarafa alındıktan sonra 2 ile çarpılırsa tam kareler görülür.