Tübitak Ortaokul 2. Aşama 2013 Soru 1

[geo]

$x+y+z = 0$ ve $x^2 + y^2 + z^2 = 6$ koşullarını sağlayan $x,y,z$ gerçel sayıları için, $$\left|(x-y)(y-z)(z-x)\right|$$ ifadesinin alabileceği en büyük değeri belirleyiniz.

(Fehmi Emre Kadan)

[geo]

Aklıma ilk gelen yöntem ile, türev kullanarak, bir çözüm yapacağım. (Ortaokul seviyesinde bir çözüm için sonra düşüneceğim.)

$x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy+yz+xz) = (x+y+z)^2 \Rightarrow xy+yz+xz = -3$.

$x-y=a$, $y-z=b$, $z-x=c$ olsun. $a+b+c=0$. Ayrıca,
$$\begin{array}{rcl}
a^2 + b^2 + c^2 &=& x^2 + y^2 - 2xy + y^2 +z^2 - 2yz + z^2+x^2 - 2xz \\
&=& 2(x^2+y^2+z^2 - xy-yz-xz) \\
&=& 18\end{array}$$
$a^2+b^2 + c^2 + 2(ab+bc+ac) = (a+b+c)^2 \Rightarrow ab+bc+ac=-9$.

Bizden istenen, $a+b+c = 0$, $ab+bc+ac=-9$ durumunda $K=\max(abc)$ nin ne olduğu.
Bu da $y=x^3-9x + K$ denkleminin tüm köklerini gerçel yapan en büyük $K$ değerini bulmakla özdeş.
$y=x^3$ eğrisi ile $y=9x-K$ doğrusunu üç noktada (ikisi katlı kök olabilir) kesiştirmek istiyoruz.
$y=9x-K$ doğrusunda, doğrunun eğimi $9$ ve doğrunun $x-$eksenini kestiği yer $-K$.
İstenen $-K$ değerini, $y=9x$ doğrusunu eğim bozmadan $x+$ yönünde kaydırdığımızda $y=9x-K$ doğrusu $y=x^3$ eğrisine teğet olduğunda elde ediyoruz. Bu teğetin eğiminin $9$ olduğunu biliyoruz.
$y=x^3$ eğrisinin türevi $y'=3x^2=9 \Rightarrow x = \pm \sqrt 3$ ve $y=3\sqrt 3$ tür. Bu değeri, $y=9x-K$ da yerine yazarsak, $K = 9x - y = 6\sqrt 3$ elde ederiz.

[proble_m]

$x=-y-z$ alınıp verilen denklemde yerine yazılırsa $$z^2+y^2+zy=3 \quad (...1)$$ elde edilir. İstenilende yerine yazılırsa $$(2x+z)(2z+y)(z-y)$$ elde edilir. İlk iki çarpanı çarparsak ve (1) nolu denklemde elde ettiğimizi yerine yazarsak $$3(2+yz)(z-y)$$ elde edilir. (1) nolu eşitliği kullanarak $z-y$ nin pozitif değerinin $\sqrt{3}\sqrt{1-zy}$ olduğu görülebilir. En büyük değer istendiği için negatif olan değer yerine bunu alacağız. Yerine yazarsak $$3\sqrt{3}(2+yz)\sqrt{1-yz}$$ elde edilir. $yz=a$ dersek $$\begin{array}{rcl}(2 + yz)\sqrt {1 - yz}& = & (2 + a)\sqrt {1 - a} \\& = &\sqrt { - {a^3} - 3{a^2} + 4} \end{array}$$ olur. Bu ifadenin en büyük değerini $a=0$ için aldığı açıktır. O halde $(2 + yz)\sqrt {1 - yz}  \le 2$ dir. Bu durumda $$(x - y)(y - z)(z - x) \le 6\sqrt 3 $$ olur.