Cevap: $\boxed {1342}$
İlk önce Aybike’nin $1342$ boncuk alabileceğini gösterelim. Bunun için Aybike, çember etrafına $9$ kutu yerleştiriyor ve kutuları saat yönünde $1, 2, \ldots, 9$ olarak numaralandırıyor. Aybike, $1$, $4$ ve $7$ numaralı kutuların her birine $671$ boncuk koyuyor. Berk’in her seçiminde, Aybike’nin iki tane boş olmayan kutuyu seçebileceği açıktır.
Şimdi, Aybike’nin $1342$’den daha fazla boncuğu almayı garantilemesinin imkansız olduğunu gösterelim. Bir $2m + 1$ sayısı için boncukların uygun şekilde dağıtılarak bunun yapılabileceğini varsayalım. Kutuları saat yönünde $1, \ldots, 2m + 1$ olarak numaralandıralım. Aybike’nin seçmediği kutulardan yalnızca iki tanesi birbirine komşu olacaktır. Genelliği bozmadan, bu kutuların numaraları $2m + 1$ ve $1$ olsun.
Aybike tarafından seçilen kutular A türü kutu, seçilmeyen kutular ise B türü kutu olarak adlandıralım. Varsayıma göre, A türü kutulardaki toplam boncuk sayısı $1342$’den fazla olacaktır. Buna göre, $1 < i \leq t$ numaralı A türü kutularda toplam boncuk sayısı en az $672$ ve $t \leq i < 2m + 1$ numaralı A türü kutularda toplam boncuk sayısı en az $672$ şeklinde bir $t$ numarası bulunacaktır. Bu durumda, Berk başlangıçta $t$ numaralı kutuyu seçerse, ya $1 < i \leq t$ numaralı ya da $t \leq i < 2m + 1$ numaralı A türü kutuların tümü Aybike tarafından seçilemez ve sonuç olarak Aybike’nin seçtiği kutularda en fazla $1341$ boncuk bulunmuş olur. Bu çelişki, sorunun çözümünü tamamlıyor.
Kaynak Tübitak Ortaokul Matematik İkinci Aşama Çözümleri - 2013
