Tübitak Lise 1. Aşama 2011 Soru 15

[ERhan ERdoğan]

Aşağıdaki $\left(a,b\right)$ ikililerinden hangisi için, $x+2y\lt a$ ve $xy\gt b$ eşitsizliklerini sağlayan hiçbir $\left(x,y\right)$ pozitif gerçel sayı ikilisi yoktur?

$
\textbf{a)}\ \left ( \dfrac{15}{7},\dfrac{4}{7} \right )
\qquad\textbf{b)}\ \left ( \dfrac{18}{11},\dfrac{1}{3} \right )
\qquad\textbf{c)}\ \left ( \dfrac{5}{7},\dfrac{1}{16} \right )
\qquad\textbf{d)}\ \left ( \dfrac{6}{7},\dfrac{1}{11} \right )
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{E}$

$x+2y = a \Rightarrow y = -\dfrac x2 + \dfrac a2$

$xy = b \Rightarrow y = \dfrac bx$ eğrisine teğet olan $-\dfrac 12$ eğimli doğru $y=-\dfrac x2 + n$ olsun. Ortak çözümde $\Delta = 0$ olmalı.
$$-\dfrac x2 + n = \dfrac bx \Rightarrow x^2 -2nx + 2b \Rightarrow \Delta = 4n^2 - 8b = 0 \Rightarrow n = \sqrt {2b}$$

$y = -\dfrac x2 + \dfrac a2$ ile $y = -\dfrac x2 + \sqrt{2b}$ doğrusu birbirine paraleldir. $\dfrac a2 > \sqrt {2b}$ olduğu sürece eşitsizlik sisteminin çözümü vardır.

Biraz düzenlersek $a^2 > 8b$ olan şıklarda çözüm vardır.
Bu aşamadan sonra her şıkkı denemek zorundayız. Ne yazık ki tüm şıklar da $a^2$ ile $8b$ sayısı birbirlerine çok yakın. Yine de gerekli işlemleri yaptığımızda tüm şıklar için $a^2 > 8b$ eşitsizliğinin sağlandığını görürüz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$$a=x+2y\geq 2\sqrt{2xy}>2\sqrt{2b}$$
olduğundan $a^2>8b$  dir. Şıklar denendiğinde ise tüm ikililerin bu koşulu sağladığı görülür.