$$1\leq \frac{(x+y)(x^3+y^3)}{(x^2+y^2)^2}\leq \frac{9}{8} \text{ ve } x,y\in \mathbb{R}^+$$
Sol Taraf: İfadeyi düzenleyelim: $(x^2+y^2)^2 \leq (x+y)(x^3+y^3)$. Cauchy-Schwarz'dan bu eşitsizliğin doğru olduğunu biliyoruz. Alternatif olarak, ifadeyi açalım:
$x^4+2x^2y^2+y^4 \leq x^4+y^4+x^3y+y^3x$
$\Rightarrow 2x^2y^2 \leq x^3y+y^3x$. Her iki tarafı da $xy$ ye bölelim.
$\Rightarrow 2xy \leq x^2+y^2$. Bu ifadenin doğruluğunu da her türlü (AGO'dan, Cauchy-Schwarz'dan, $(x-y)^2\geq 0$ 'dan) biliyoruz.
Sağ Taraf: İçler dışlar yapıp ifadeyi açalım.
$8x^4+8y^4+8x^3y+8xy^3 \leq 9x^4+9y^4+18x^2y^2$
$\Rightarrow 8x^3y+8xy^3 \leq x^4+y^4+18x^2y^2$
$\Rightarrow 0 \leq x^4-8x^3y+18x^2y^2-8xy^3+y^4$ İfade $(x-y)^4$ 'e çok benziyor, $(x-y)^4$ u ayıralım.
$\Rightarrow 0 \leq (x-y)^4-4x^3y+12x^2y^2-4xy^3$
$\Rightarrow 0 \leq (x-y)^4-4xy(x^2-3xy+y^2)$
$\Rightarrow 0 \leq (x-y)^4-4xy(x^2-2xy+y^2)+4x^2y^2$
$\Rightarrow 0 \leq (x-y)^4-4xy(x-y)^2+4x^2y^2$
$\Rightarrow 4xy(x-y)^2 \leq (x-y)^4+4x^2y^2$. Bu ifadenin doğruluğunu da her türlü (AGO'dan, Cauchy-Schwarz'dan, $(x-y)^2\geq 0$ 'dan) biliyoruz.
Kaynak:
Serdar ADA
