Tübitak Lise Takım Seçme 2010 Soru 1

[Lokman Gökçe]

$ABC$ üçgeninin sırasıyla $\lbrack AB\rbrack $, $[BC]$, $ [CA]$ kenarları üstünde yer alan $D,E,F$ noktaları, $\vert AD\vert =\vert AF\vert $, $\vert BD\vert =\vert BE\vert $ ve $\vert DE\vert =\vert DF\vert $ koşullarını sağlıyor. $I$, $ABC$ üçgeninin iç merkezi olmak üzere; $ABI$ üçgeninin çevrel çemberine $A$ noktasında teğet olan doğru ile $BI$ doğrusu $K$ noktasında kesişiyor. $\vert AK\vert =|AD|$ ise, $\vert AK\vert =|KE|$ olduğunu kanıtlayınız.

(Şahin Emrah)

[ERhan ERdoğan]

$AK , (AIB)$ çemberine teğet olduğundan $\angle KAI=\angle ABK$ dir.
Buradan, $\angle KAD=\angle KIA$ olur.
$|DE|=|DF|$ ve $[AI]$ ile $[BI]$ bu uzunlukların orta dikmeleri olduğundan $ID$ , $AIB$ açısının açıortayıdır.
$\angle KAD+2\angle AKD=\angle KIA+2\angle AID\Rightarrow \angle AKD=\angle AID$ dir.
Buna göre ; $AKID$ bir kirişler dörtgenidir. Bu dörtgenden $\angle KIA=\angle ADK=\angle AKD$ bulunur.
Yani $AKD$ bir eşkenar üçgen olup, $|AK|=|KD|$ dir. $BK, [DE]$ nin orta dikmesi olduğundan $|KD|=|KE|$ olur. Sonuç olarak , $|AK|=|KE|$ dir.