Tübitak Lise Takım Seçme 2010 Soru 2

[Lokman Gökçe]

Tüm $a,b,c$ pozitif gerçel sayıları için, $$\begin{array}{r}  \sqrt[4]{\dfrac{(a^{2}+b^{2})(a^{2}-ab+b^{2})}{2}}+\sqrt[4]{\dfrac{(b^{2}+c)(b^{2}-bc+c^{2})}{2}}+\sqrt[4]{\dfrac{(c^{2}+a^{2})(c^{2}-ca+a^{2})}{2}}\\ \le \dfrac{2}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right) \end{array}$$ olduğunu gösteriniz.

(Fehmi Emre Kadan)

[MATSEVER 27]

Cauchy-Schwarz'dan $(a+b+c)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right) \ge 9$ olduğundan
$$\frac{2}{3}({a^2} + {b^2} + {c^2})\left( {\frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{b + c}} + \frac{1}{{c + a}}} \right) \ge \frac{{6({a^2} + {b^2} + {c^2})}}{{2(a + b + c)}} = \frac{{3({a^2} + {b^2} + {c^2})}}{{a + b + c}}$$
olduğunu söyleyebiliriz. $A.G.O$ dan;
$$\sum\limits_{cyc} {\sqrt[4]{{\frac{{({a^2} + {b^2})({a^2} - ab + {b^2})}}{2}}}} \le \sum\limits_{cyc} {\sqrt {\frac{{\frac{{({a^2} + {b^2})}}{2} + ({a^2} - ab + {b^2})}}{2}} } =S$$
olduğunu biliyoruz. Buradan;
$$S = \sum\limits_{cyc} {\sqrt {\frac{{3{a^2} - 2ab + 3{b^2}}}{4}} } \le \sqrt {\frac{{3\left( {6({a^2} + {b^2} + {c^2}) - 2(ab + bc + ca)} \right)}}{4}} $$
elde edilir. Buradan sonra ispatlamamız gereken şey;
$${a^2} + {b^2} + {c^2} \ge (a + b + c)\sqrt {\frac{{3({a^2} + {b^2} + {c^2}) - (ab + bc + ca)}}{6}}$$
olduğudur. Bunun için;
$${a^2} + {b^2} + {c^2} \ge \frac{{\sqrt {2{{(a + b + c)}^2}\left( {9({a^2} + {b^2} + {c^2}) - 3(ab + bc + ca)} \right)} }}{6}=M $$
olmalıdır. $A.G.O$ dan;
$$M \le \frac{{11({a^2} + {b^2} + {c^2}) + ab + bc + ca}}{{12}} \le {a^2} + {b^2} + {c^2}$$
olduğundan eşitsizlik sağlanır ispat biter.