(Süha Bardakçı)
İlk olarak, $f$ ve $g$ fonksiyonları $\mathcal{F}$ üzerinde integrallenebilirdir. Buna bağlı olarak bir iddia ortaya atalım.
Tanım:Alttan integral, bir fonksiyonun $x$ ekseninin altında kalan alanı, üstten integral ise $x$ ekseninin üstünde kalan alanı ifade etmektedir.
İddia: Şahane $f$ fonksiyonunun, $\lim A=\infty $ koşulunu sağlayan herhangi bir $A$ bölgesi için, alttan ve üstten integralleri birbirlerinin ters işaretlisidir. Yani $\int_{\mathcal{F}_{\text{alt}}}fdA=-\int_{\mathcal{F}_{\text{üst}}}fdA $ eşitliği geçerlidir.
İspat: Vektörel olarak $x_i$ kafes noktalar kümesi ve $k,m\in \Lambda$ noktaları için,$$\lim_{k\rightarrow \infty}\sum_{k\in \Lambda} (x_{2k+1}-x_{2k})=\int_{\mathcal{F}_{\text{üst}}}fdA$$ şeklinde tanımlayalım.
Tanım gereği, Alt toplamı da $$\lim_{m\rightarrow \infty}\sum_{m\in \Lambda} (x_{2m-1}-x_{2m})=\int_{\mathcal{F}_{alt}}fdA$$
şeklinde tanımlamalıyız. Bu iki eşitliği taraf tarafa toplarsak, istediğimizi elde etmiş oluruz. İspat biter. $\blacksquare$
O halde $f$ fonksiyonunun integrali, alt ve üst integrallerin toplamı olacağından, bu değer $0$ a eşit olur. bunu kullanarak, soruda verilen eşitsizlikte her iki tarafta integral alırsak,
$$\int_{\mathcal{F}}\sum\limits_{\substack{P,Q\in \Lambda \\0<\vert PQ\vert <2010}}{\dfrac{f(P)f(Q)-g(P)g(Q)}{\vert PQ\vert }}\ge 0$$
$$\int_{\mathcal{F}}\sum\limits_{\substack{P,Q\in \Lambda \\0<\vert PQ\vert <2010}}{\dfrac{f(P)f(Q)}{\vert PQ\vert }}\ge \int_{\mathcal{F}}\sum\limits_{\substack{P,Q\in \Lambda \\0<\vert PQ\vert <2010}}{\dfrac{g(P)g(Q)}{\vert PQ\vert }}$$
$f$ şahane ise zaten eşitsizliğinin sol tarafı $0$ olacağından, İspatlamamız gereken,
$$0 \geq \int_{\mathcal{F}}\sum\limits_{\substack{P,Q\in \Lambda \\0<\vert PQ\vert <2010}}{\dfrac{g(P)g(Q)}{\vert PQ\vert }}$$ eşitsizliğini sağlayan $f$ den farklı sonsuz sayıda kafes noktası olan sonsuz tane $g$ fonksiyonu olduğunu göstermek. $|PQ|$ değeri pozitif olacağından, $g(P)g(Q)$ ifadesi sonsuz sayıda $f$ den farklı kafes noktası için negatif değer alabilir. O halde Sonsuz tane Şahane fonksiyon bu koşulları sağlayabilir.
