Tübitak Lise Takım Seçme 2010 Soru 4

[Lokman Gökçe]

$0\le k<n$ tam sayılar ve $A=\lbrace a : a\equiv k \pmod n\rbrace $ olmak üzere, hiçbir $(a,m) \in A\times \mathbf{Z}^{+}$ için, $$ \dfrac{a^{m}+3^{m}}{a^{2}-3a+1}$$ ifadesinin değeri tam sayı değilse, $n $ nin alabileceği en küçük değeri bulunuz.

(Fehmi Emre Kadan, Okan Tekman)

[ArtOfMathSolving]

$10^m+3^m\equiv 0 \pmod{71}$ denkliğinin çözümü var mıdır ? En küçük $n=10$ koşulu sağlıyor fakat Fehmi bey cevabı $11$ olarak vermiş, ispat olarak, $n=11$ in sağladığı ve $a=-5$ den $12$ ye kadar denenmiş fakat arada $9$ ve $10$ atlanmış, bir yerlerde hata olmasın ! 

https://www.artofproblemsolving.com/community/c6h364704p2004370

$\begin{align*} \Rightarrow 10^m+3^m = 13\left( \sum_{\ell =0}^{m} 10^{(m-1)-\ell}3^{\ell}\right) \Rightarrow \left( \sum_{\ell =0}^{m} 10^{(m-1)-\ell}3^{\ell}\right) \not \equiv 0 \pmod{71} \end{align*} $ Böylece $n=10$ seçip $k=0$ olarak alabiliriz ve $k<n$ olur. Ayrıca $\begin{align*}  a \equiv 0\pmod{10} \Rightarrow a=10^{\kappa},\kappa \in \mathbb{Z^{+}} \Rightarrow (10^{\kappa}+3)\left( \sum_{\ell =0}^{\kappa m} 10^{(\kappa m-1)-\ell}3^{\ell}\right)  \Longrightarrow 10^{\kappa}\not \equiv -3 \pmod{71}, \left( \sum_{\ell =0}^{\kappa m} 10^{(\kappa m-1)-\ell}3^{\ell}\right) \not \equiv 0\pmod{71} \end{align*} $   Burada herhangi bir yanlışlık var mı ?

[MATSEVER 27]

Çözümde küçük bir yeri  atladığınızı veya yanlış anlamış olabileceğinizi düşünüyorum.

$n=10$ olsun diyelim. $a=12$ ve $m=9$ alalım. $ \dfrac{a^{m}+3^{m}}{a^{2}-3a+1}=(12^9+3^9)(12^2-12.3+1)=3^9. \dfrac{4^9+1}{109}=2405.3^9$ olduğundan tamsayıdır. Dolayısıyla $n=10$ için sağlamayan örnek vardır. Yani $n$ sayısı en küçük değeri $10$ olamaz.

[ArtOfMathSolving]

Haklısınız fakat $n=11$ kanıtlanırken, ya $a\equiv 5\pmod{11}$ olursa diyerek çözüm gelmeyeceği gösterilmiş, $a\equiv k \pmod{11}$ için bu bir ispat niteliği taşır mı ? yoksa gene bir yeri mi kaçırıyorum. Yanlışım varsa düzeltin