Gönderen Konu: Tübitak Lise Takım Seçme 2005 Soru 1  (Okunma sayısı 3846 defa)

Çevrimdışı Lokman Gökçe

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3.730
  • Karma: +24/-0
  • İstanbul
Tübitak Lise Takım Seçme 2005 Soru 1
« : Ağustos 09, 2013, 11:16:47 öö »
Her $x \in \lbrack 0, \infty) $ için, $$\begin{array}{l} 4f(x)\ge 3x \\ f(4f(x)-3x)=x \\ (f(x)+x)f(f(x))\le 2xf(x) \end{array}$$ koşullarını sağlayan tüm $f:\lbrack 0,\infty) \to \lbrack 0,\infty) $ fonksiyonlarını bulunuz.
« Son Düzenleme: Aralık 22, 2023, 04:23:36 öö Gönderen: geo »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı Metin Can Aydemir

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1.365
  • Karma: +10/-0
Ynt: Tübitak Lise Takım Seçme 2005 Soru 1
« Yanıtla #1 : Aralık 22, 2023, 01:29:43 öö »
İkinci eşitlikten fonksiyonun örten olduğu görülebilir. Sabit bir $x$ için $y=4f(x)-3x$ alırsak, $f(y)=x$ olacağından $$(f(y)+y)(f(f(y)))=(x+y)f(x)=\frac{(x+y)(3x+y)}{4}\leq 2yf(y)=2xy$$ $$\implies 3x^2+y^2-4xy\leq 0\implies (3x-y)(x-y)\leq 0$$ $$\implies x\leq y\leq 3x$$ elde edilir. Dolayısıyla $$x\leq 4f(x)-3x\leq 3x\implies x\leq f(x)\leq \frac{3x}{2}$$ elde edilir.

Bu eşitsizlikten dolayı, $f(x)=g(x)+x$ şeklinde bir $g:[0,\infty)\to [0,\infty)$ fonksiyonu vardır. Bu fonksiyon için $$0=f(4f(x)-3x)-x=g(4f(x)-3x)+4f(x)-4x=g(4f(x)-3x)+4g(x)$$ elde edilir. $g$ fonksiyonu hiçbir zaman negatif olamayacağından bu eşitliğin sağlanması için $g(x)=0$ olmalıdır. Dolayısıyla $g\equiv 0$ ve $\boxed{f(x)=x}$ olmalıdır. Yerine koyulduğunda sağladığı görülebilir.
« Son Düzenleme: Aralık 22, 2023, 04:23:51 öö Gönderen: geo »
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal