Gönderen Konu: Tübitak Lise Takım Seçme 1994 Soru 5  (Okunma sayısı 3646 defa)

Çevrimdışı Lokman Gökçe

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3.716
  • Karma: +23/-0
  • İstanbul
Tübitak Lise Takım Seçme 1994 Soru 5
« : Ağustos 08, 2013, 03:53:26 ös »
$\lim\limits_{i\to \infty }\dfrac{2^{n_{i}}}{3^{m_{i}}}=1$ olacak şekilde $n_{i}, m_{i}$ $(i=1,2,3\ldots )$ pozitif tamsayılarının bulunabileceğini gösteriniz.
« Son Düzenleme: Ekim 17, 2013, 01:01:17 ös Gönderen: geo »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2.632
  • Karma: +9/-0
Ynt: Tübitak Lise Takım Seçme 1994 Soru 5
« Yanıtla #1 : Aralık 16, 2023, 09:15:23 öö »
Önce Analizde bilinen bir teoremi hatırlatalım.

Teorem: Her irrasyonel $a$ sayısı için ona yakınsayan ve her $i \in \mathbf N$ için $$\left | \dfrac {n_i}{m_i} - a \right | < \dfrac 1{m_i^2},$$ eşitsizliğini sağlayan $\left \{ \frac {n_i}{m_i} \right \}$, $i \geq 1$ bir rasyonel sayı dizisi vardır.

Teoremden dolayı, $$\lim\limits_{i\to \infty } \dfrac {n_i}{m_i} = \dfrac {\ln 3}{\ln 2}$$ eşitliğini sağlayan ver her $i$ için $$ \left | \dfrac {n_i}{m_i} - \dfrac {\ln 3}{\ln 2} \right | < \dfrac {1}{m_i^2} \tag{*}$$ özelliğine sahip bir rasyonel sayı dizisi $\left \{ \frac {n_i}{m_i} \right \}$ vardır. $(*)$ dan: $$\begin{array}{lcl}
|n_i \ln 2 - m_i \ln 3| < \dfrac {\ln 2}{m_i} & \Longleftrightarrow & |\ln 2^{n_i} - \ln 3^{m_i}| < \dfrac {\ln 2}{m_i} \\
& \Longleftrightarrow & \left| \ln \dfrac {2^{n_i}}{3^{m_i}} \right | < \dfrac {\ln 2}{q_i} \\
& \Longleftrightarrow & e^{- \frac {\ln 2}{m_i}} < \dfrac {2^{n_i}}{3^{m_i}} < e^{\frac {\ln 2}{m_i}}
\end{array}$$ elde edilir. $\lim\limits_{i\to \infty } e^{\pm \frac {\ln 2}{q_i}} = e^0 = 1$ olduğundan, Sandwich teoreminden $\lim\limits_{i\to \infty } \dfrac {2^{n_i}}{3^{m_i}} = 1$ olur.

Kaynak: Analiz ve Cebirde İlginç Olimpiyat Problemleri ve Çözümleri, 2003, Problem 3.43 Syf. 95-96.
« Son Düzenleme: Aralık 16, 2023, 02:01:00 ös Gönderen: geo »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal