Fantezi Cebir > Cebir-Teorem ve İspatlar

Harmonik Seri

(1/2) > >>

alpercay:
 $1 +\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} +...+\dfrac{1}{k}$  kısmi toplamı  için $k$ 'ya bağlı bir alt ve bir üst sınır bulabilir misiniz?

Lokman Gökçe:
Bu seri toplam sonsuza gidiyor. yakınsak bir seri olmadığı için üst sınır veremeyiz. k sonsuza gidiyorsa (seri dendiği için sonsuz terimli bir toplamdan bahsedildiğini varsayıyorum) alt sınır olarak da herhangi bir pozitif sayıyı verebiliriz. Örneğin bu toplam 100'den büyüktür diyebiliriz.

Diğer taraftan ak = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/k dizisi için bir alt toplam istenirse bu dizi monoton artan olduğundan alt sınır a1 = 1 dir. Yani her k pozitif tamsayısı için ak > 1 olur.

alpercay:
Hocam seri kelimesini kısmi toplam olarak değiştirdim ve soruyu tekrar ifade ettim.

alpercay:
$n\ge 7$ için   $\displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac1i \le \sqrt n$

Olduğundan dolayı;

$\displaystyle\sum_{i=1}^{n+1}\dfrac1 i=\displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac1 i+\dfrac{1}{n+1}\le \sqrt n +\dfrac{1}{n+1}$

Olur ve ;

$\sqrt n+\dfrac1 {n+1}\le\sqrt{n+1}$  bu eşitsizliği ispatlamak işleri çözüyor.

Neden?

Çünki;

$\displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac1i \le \sqrt n$  varsayıp;

$\displaystyle\sum_{i=1}^{n+1}\dfrac1i \le \sqrt {n+1}$  olduğunu göstermemiz gerekiyor.


$\sqrt n+\dfrac1 {n+1}\le\sqrt{n+1}$  bununla biraz oynarsak;


$\sqrt n+\dfrac1 {n+1}\le\sqrt{n+1} \quad\equiv\quad \dfrac1 {n+1}\le \sqrt{n+1}-\sqrt n$

$\equiv\quad \dfrac1{\sqrt{n+1}-\sqrt n}\le n+1$

$\equiv \quad \left(\dfrac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\right)\dfrac1{\sqrt{n+1}-\sqrt n}=\sqrt{n+1}+\sqrt n \le n+1$


Öte yandan son eşitsizlik olan,   $\sqrt{n+1}+\sqrt n \le n+1$   ,bu eşitsiziliği kanıtlamak  için;


$\sqrt{n+1}+\sqrt n<\sqrt{n+1}+\sqrt{n+1}$  ve doğal olarak

$2\sqrt{n+1}\le n+1$ eşitsizliğini kanıtlamamız gerek;

sadeleşme yaparsak;

$2\le \sqrt{n+1}$ bulunur ki bu eşitsizlik ,$\forall n\ge 3$ için geçerlidir.

İspatımız tamamlandı.$\Box$ 
Çözüm için Anıl Yalçın'a teşekkürler.

Eray:
İddia: Tüm $k$ pozitif tam sayıları için $1 +\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} +...+\dfrac{1}{k} \ge \log_{10}{k}$ eşitsizliği sağlanır.

Navigasyon

[0] Mesajlar

[#] Sonraki Sayfa