2012 Antalya Olimpiyatı 2. Aşama Soruları

[Beyşehirli]

2012 Antalya Matematik Olimpiyatı Soruları.. Öğrencilere 5 soru soruldu, süre olarak 3,5 saat verildi..

1) Dar açılı ABC üçgeninin [AD] yüksekliği üzerinde alınan bir P noktası için BP ile [AC] nin kesişim noktası E, CP ile [AB] nin kesişim noktası F dir. BCEF dörtgeni kirişler dörtgeni ise P nin diklik merkezi olduğunu gösteriniz.

2) n > 2 tam sayısı veriliyor. Her n için öyle bir m < n² tam sayısı vardır ki xⁿ + yⁿ - m sayısı x ve y nin hiçbir tam sayı değeri için n² ye bölünmez; kanıtlayınız.

3) x >= y >= z >= 0 ve x + y + z = 6 ise xy² + yz² + zx² <= 27 olduğunu gösteriniz.

4) x > y >= 0 olmak üzere kök(xy) = (x + y) / (x - y) ise x + y nin alabileceği en küçük değeri bulunuz.

5) a₀ > 1, a₁ > 1, a₂ > 1 olmak üzere şu şekilde bir dizi tanımlanıyor:

a_n+3 = (1/ a_n)(1 +  a_n+1 +  a_n+2)

Buna göre n >= 0 için  a_n+8 =  a_n olduğunu gösteriniz.

ÇÖZÜM YAPANLAR PAYLAŞIRSA SEVİNİRİM..

[Beyşehirli]

ÇÖZÜM 1)
Öncelikle bir özellik gösterelim: ABC üçgeninin diklik merkezi H olsun. Sinüs teoremi'nden AB = 2RsinC dir. O halde
cosB = BD / 2RsinC ==> BD = 2RcosBsinC dir. Ayrıca m(BHD) = m(C) olduğunu görmek zor değildir. Bu durumda
tanC = sinC / cosC = BD / HD = 2RcosBsinC / HD ==> HD = 2RcosBcosC ...(1) dir.
Şimdi soruya dönelim.
m(FBE) = m(FCE) = p, m(EBC) = m(EFC) = q ve m(FEB) = m(FCB) = r olsun. Trigonometrik Ceva Teoremi'nden
sin(BAD) . sinq . sinp = sinp . sinr . sin(DAC) ==> sin(BAD) . sinq = sinr . sin(DAC) ==> cosB.sinq = sinr.cosC
==> sinq / sinr = PE / PF = PC / PB = cosC / cosB bulunur. Yukarıda BD = 2RcosBsinC bulmuştuk, benzer şekilde
DC = 2RcosCsinB dir. O halde PD = x dersek Pisagor'dan
PB² = x² + 4R²cos²Bsin²C ve
PC² = x² + 4R²cos²Csin²B elde edilir.
Bu durumda PC² / PB² = cos²C / cos²B = (x² + 4R²cos²Csin²B) / (x² + 4R²cos²Bsin²C) elde edilir. Buradan
x²cos²C + 4R²cos²Bcos²Csin²C = x²cos²B + 4R²cos²Ccos²Bsin²B ==> x²(cos²C - cos²B) = 4R²cos²Bcos²C(sin²B - sin²C) elde edilir.
cos²C - cos²B = sin²B - sin²C eşitliğini görmek zor değildir. O halde
x² = 4R²cos²Bcos²C ==> x = 2RcosBcosC ...(2) bulunur. (1) ve (2) den P ve H noktalarının çakışık olduğu yani P nin diklik merkezi olduğu görülür.

[osman211]

hocam yanıtları varmı 

4. soru için soyle düşündüm ama


x>y  olduğu için x=y+a seklinde yazabiliriz bu arada a sayısıda bi değişken dir


x=y+a yazarak  denklemde   

y²(4-a²)+y(4a-a³)+a²=0

bu denklemi y ' e gore düzenledim  burdan y için kokleri   için deltayı  a⁶-4a⁴ buluruz

burdan y=a³-4a-kök(a⁶-4a⁴)/(2.(4-a²)

x+y nin en küçük değeri soruluyodu   x=y+a yazarsak    2y+a  olur burdan     düzenlersek


-kok(a⁶-4⁴)/(4-a²)  olur  burdan  a²-4=u dersek

burdan    (uköku+4köku)/u  olur   A.O ortalamadan     (köku+4köku/u)/2=>kök4

den ifadenin en küçük değeri 4 olur  biraz atmasyon oldu ama

[Lokman Gökçe]

Akdeniz ünv.den Mustafa Özdemir Bey'den rica ettik ve 2012 2.aşama sorularını temin ettik. Orijinal pdf  dökümanını sitemiz aracılığıyla matematik severlere sunalım

[Lokman Gökçe]

Lise 1, 1. sorunun çözümü:

[Lokman Gökçe]

Lise 1, 2. sorunun çözümü:

[Lokman Gökçe]

Lise 1, 5. sorunun çözümü:

[ERhan ERdoğan]

Lise 2/3 , 5. sorunun çözümü :

[sgmx]

Lise1 , 5. sorunun çözümü - 2 :

[sgmx]

Lise 2/3 , 5. sorunun çözümü - 2:

[Ferhat GÖLBOL]

Lise 2/3,  2. sorunun çözümü: