Atılım Ünv. Matematik Yarışması 2012 Final

[Lokman Gökçe]

Atılım Ünv. Matematik Yarışması 2012 Final soruları ... eleme sınavında olduğu gibi burada da zorlayıcı bir soru yok. antrenman olsun diye çözebiliriz

[Lokman Gökçe]

çözüm 1:

x6y7 = 23 (mod 29) yazabiliriz. x7y6 = a (mod 29) diyelim. a sayısını bulalım. Denklikleri taraf tarafa çıkarırsak

a - 23 = x7y6 - x6y7 = 99 (mod 29) olup a = 99 + 23 = 122 (mod 29) olur. 122 sayısını da manuel olarak 29 ile bölersek kalan 6 olur.

[Lokman Gökçe]

Çözüm 5: AB = 3x dersek, CD = x olur. Paralellikten ötürü Alan(ACD) = Alan(ACE) = 45 dir. Ayrıca Alan(ACD) = AB.CD/2 olduğundan 3x²/2 = 45 dir. x² = 30 eşitliğinden x = sqrt(30) bulunur.

NOT: y = sqrt(x), karekök fonksiyonudur.

[Lokman Gökçe]

çözüm 6:

3 + 5 + 7 + 8 = 23 tane topumuz olduğunu varsayalım ve tüm kutuları ağzına kadar topla dolduralım. Kutularda boş ye kalmasın. şimdi bu dört kutuda 19 tane top kalması için fazla koyduğumuz 4 topu geri alalım. kutulardan sırasıyla a, c, b, d tane topu a < 4 olmak koşuluyla a + b + c + d = 4denkleminin negatif olmayan tamsayılardaki çözüm sayısı kadar yolla geri alabiliriz.  Bu denklemin C(7,3) = 35 tane çözümü vardır. fakat a = 4, b = c = d = 0 çözümü istenmeyen bir durumdur ve bunu dışarı atarsak aslında 35 - 1 = 34 yolla bu işi yapabiliriz.

[Lokman Gökçe]

çözüm 7:

Bu problemin çözümünde ilk adım olarak f(1) değerini hesaplayalım. x = y = 1 için 6 = f(1).f(1) - 4f(1) + 1 olup buradan f(1) e göre 2. dereceden denklemi çözersek pozitif değer olarak f(1) = 5 bulunur. (diğer çözüm negatif olduğundan problemin hipotezine ters düşer)

Şimdi 2.adımda y = 1 yazalım. 3(x + 1)/x = f(x).5 - 4f(x) + 1 olup buradan f(x) = 2 + 3/x elde edilir. x = 1/2012 için f(1/2012) = 2 +3.2012 = 6038 olarak hesaplanır.

[Ferhat GÖLBOL]

çözüm-3:
10 rakam içinden birbirinden farklı 4 rakamı C(10,4)=210 farklı şekilde seçeriz. Bunları büyüklük sırasına göre a,b,c,d olarak belirleriz. Dolayısıyla 210 sayı vardır.

[Ferhat GÖLBOL]

çözüm-8:

[Ferhat GÖLBOL]

çözüm-9:
Doğruyla parabolün kesişim noktalarının x koordinatlarını inceleyelim.
x²-3x-4=mx  -->  x²-(m+3)x-4=0'dır. Kesişim noktalarının orta noktasının x koordinatı, kesişim noktalarının x koordinatlarının toplamının yarısı, yani (m+3)/2 'dir. Orta nokta da y=mx doğrusu üzerinde olduğundan y koordinatı m*(m+3)/2 olur.
x=(m+3)/2 --> m=2x-3
y=m(m+3)/2=(2x-3)*x=2x²-3x parabolü istenen noktaların geometrik yeridir.

[Ferhat GÖLBOL]

çözüm-10:

[Ferhat GÖLBOL]

çözüm-4:
Bir doğal sayı tam kare ise asal çarpanlarına ayrıldığında tüm asal çarpanlarının kuvvetleri çift sayıdır. Pozitif bölen sayısını hesaplamak için kuvvetlerin birer fazlalarını çarptığımızdan pozitif bölen sayısı tek sayıda olur. Eğer sayımız tam kare olmasaydı asal çarpanlarının en az birinin kuvveti tek sayı ve bunun bir fazlası çift sayı olurdu. Herhangi bir doğal sayı bir çift sayıyla çarpıldığında sonuç çift sayı olacağından pozitif bölen sayısı çift sayıda olurdu. Burcu 1'den 500'e kadar 22 tam karede (1²,2²,...,22²)  1'er, geriye kalan 478 tam kae olmayan doğal sayıda 2'şer adım atacağından 22+478*2=978 adım atar.

[arthur coimbra]

2. soru. lokman hocam diğer sorulardan bize de bıraksaydınız