(a2+b2)/(1+ab) = K diyelim, K pozitif bir tamsayı. --> a2+b2 - Kab - K = 0
Bunu a'ya bağlı bir polinom şeklinde yazabiliriz: a2 - a(Kb) + (b2-K) = 0
Diyelim ki, verilen bir K değeri için bu ifadeyi sağlayan bir (a,b) çifti bulduk. İfade ikinci dereceden olacağı için başka bir a değeri daha mevcuttur. O da kökler toplamı formülünden yani ayeni = Kb - a şeklinde bulunabilir.
Kökler çarpımı formülünden ise şöyle bir ilişkimiz var: a x ayeni = b2-K
Simetrikliği bozmadan a>b varsayabiliriz. O zaman kökler çarpımı ilişkisinden b>ayeni'dir.
Yani, (a,b) çifti bir çözüm iken, (b,ayeni) çifti de bir başka çözümdür. O zaman
bu şöyle devam edebilir: (b,ayeni) bir çözüm iken (ayeni, Kayeni-b) başka bir çözümdür ...
Yeni çifti bulmak için sürekli çıkartıyoruz, ve bu çiftler tamsayı çiftleri olacağından, sürekli azalan ve 0'a doğru yaklaşan bir dizi var elimizde. Ve her çift için soruda verilen ifade K'ya eşit olmak durumunda. Ama sürekli azalan tamsayılardan birisi 0'ı geçtiği vakit, 1+ab negatif olacak(yada 0) yani ifade negatif olacak(yada sonsuz) ve K'ya eşit olamayacaktır. Bu yüzden çiftlerden küçüğü 0'a gelmek zorundadır.
0'a geldiği durumda, (ak,0) çifti çözüm olacak, ve yeni sıradaki sayı ak+1 = K x 0 - ak = -ak, olacaktır. Sonrasında, ak+2=-Kak diye devam edecek ve yine ifade = K koşulunu bozmayacaktır.
Ama 0'a uğramadığı vakit, sonuç negatif çıkacak ve ifade = K koşulu sağlanmayacaktır. Yani 0'a uğramaması imkansız.
Sonuç olarak, 0'a uğradığı durumda, K = a2 yani tam kare olacaktır.
Bir örnek ile, 0'dan başlayıp bu sayıları yaratalım:
K = 49 olsun, a=7 ve b = 0 ile başlayalım.
(b,ayeni) --> (a,b)
(7,0) --> (a,7) ==> a = Kb + ayeni = 49 * 7 + 0 = 73 ise çiftimiz (73,7)'dir.
İfadede yerine koyalım:
(76+72)/(1+7x73) = 72(1+74)/(1+74) = 72 = K ...
