İSVEÇ MO 1975

[noproblem]

(3 + √5)ⁿ sayısının kesir kısmı 0.99 dan büyük olacak şekilde bir n tamsayısı var mıdır?

[Lokman Gökçe]

eşlenik yardımıyla şöyle kolay bir çözüm verebiliriz.

Çözüm: (3 + √5)ⁿ = a + b√5 olacak şekilde a, b tamsayıları bulunur. Dolayısıyla (3 - √5)ⁿ = a - b√5 olur. her n pozitif tamsayısı için (3 + √5)ⁿ + (3 - √5)ⁿ toplamının sonucu bir tamsayı olur. Şimdi (3 - √5)ⁿ ifadesinin n nin büyük değerleri için sıfıra çok yakın olduğunu gösterelim. 3 - √5 < 1 olduğundan (3 - √5)ⁿ pozitif terimli azalan bir dizidir ve limiti sıfırdır. (3 - √5)ⁿ ifadesi 0 ile 1 arasında olduğundan tam kısmı da 0 dır ve kesir kısmı kendisine eşittir. dolayısıyla n büyüdükçe (3 + √5)ⁿ sayısının kesirli kısmı da 1 e doğru yaklaşır. yani (3 + √5)ⁿ sayısının kesir kısmının limiti 1 dir. 0,99 olacak şekilde sonsuz çoklukta n pozitif tamsayısı vardır.