iki tane olimpiyat sorusu {çözüldü}

[noproblem]

(3+kök5)ⁿ sayısının kesir kısmı 0.99 büyük olacak şekilde bir n pozitif tam sayısı varmıdır gösterin


x+y+z=5  xy+yz+xz=3 x,y,z,elemanıdır reel sayılar z nin en büyük değeri için x ve y'i bulunuz

[iskender]

Hocam 2. soruyu z nin en büyük değeri sorulan hali ile çözmüştüm. en büyük z için x=y alınırsa iki değerde 1/3 çıkıyor. 

[Lokman Gökçe]

iskender kardeşim çözüm için teşekkürler. z nin en büyük değerini de doğru biçimde bulmuşsunuz, yalnız ufak bir düzeltme yapmamız gerekecek. x,y sayıları pozitif olmak zorunda değildir. Dolayısıyla ortalama eşitsizliklerini tatbik edemeyiz. bunun yerine Cauchy - Schwarz - Bunyakowski eşitsizliğini uygulamak daha uygun olacaktır.

(x + y)² ≤ (1² + 1²)(x² + y²)

yazılıp aynı işlemler uygulanır.

Alternatif olarak:

x + y ≤ |x| + |y| oluşunu kullanarak ortalama eşitsizliği uyguladığımız değişkenlerin negatif olmamasını garanti altına alabiliriz. yani (|x| + |y|)/2 ≤ √((x² + y²)/2) yazılabilir.

[iskender]

Lokman hocam yazmayı unutmuşum, alttaki çözümsü bana ait, üsteki çözüm bana ait değil. Benim aklım şu eşitsizliklere zaten oldum olası pek yatmaz  , bir başka öğretmen abime ait. Düzelttiğiniz ve doğrusunu gösterdiğiniz için teşekkürler

[Lokman Gökçe]

ilk soruyu http://geomania.org/forum/index.php/topic,2308.msg8567.html#msg8567 linkinde çözmüştük.