diofant denklem

[pesimath]

x,y poz.tamsayı  x²-y!=2001    denkleminin tüm çözümlerini bulunuz.


bu soruyu mod 9 da inceledim,ama tam bir sonuca varamadım

diğer soru
x,y  tam sayı   x⁵-y²=4      denkleminin kaç farklı çözümü vardır?

ilgilenirseniz sevinirim,teşekkürler

[Lokman Gökçe]

2. problem 1998 balkan mat. olimpiyatının meşhur sorusudur. mod 11 de incelenirse çözümü olmadığı görülebilir. Şöyle ki:

y² = 0, 1, 3, 4, 5 veya 9 (mod11) olabilir. p = 11 asalı için Fermat teoremine göre x⁵ = 1, -1 veya 0 (mod 11) olabilir. Böylece x⁵ - 4 = 6, 7 veya 8 (mod 11) olabilir. Bu değerler y² nin mod11 deki kalanlarından herhangi birisine tekabül etmediğinden x⁵ - 4 = y² denkleminin tamsayılarda çözümü yoktur.

1. problem de klasikleşmiş meşhur bir sorudur. Titu Andreescu'nun Diophantine Equations kitabında da vardı sanırım. Diyofant denklemlerinin çözüm yöntemleri ile ilgilenenlerin okuması gereken kıymetli bir eserdir....çözüme geçelim:

y! = x² - 2001 denkleminde en küçük değer olarak x = 45 verirsek y! = 2025 - 2001 = 24 olup y = 4 bulunur. y = 5 için çözüm gelmediği denenerek görülebilir. y > 5 için y! = 0 (mod 9) olur. Böylece x² = 2001 = 3(mod9) olur. Halbuki x² = 0, 1, 4, 7 (mod9) değerlerini alabilir. çelişki! demek ki y > 5 için çözüm yoktur.
Tek çözüm (x, y) = (45, 4) olur.

 

[pesimath]

Böylece x5 - 4 = 6, 7 veya 8 (mod 11) olabilir.   hocam sadece buradaki 7 yi anlayamıyorum,6 ve 8 tamam

[Lokman Gökçe]

Fermat teoremine göre eğer x, 11 ile aralarında asal ise x¹⁰ = 1 (mod 11) şeklindeydi. Fakat x 11 ile aralarında asal olmayabilir de. pekala x = 11k formatında da olabilir. Bu durumda x = 0 (mod 11) ve x in tüm pozitif tamsayı kuvvetleri için xⁿ = 0 (mod 11) olacaktır. Özel olarak x¹⁰ = 0 (mod 11) değeri de vardır. Demek ki x 11 ile aralarında asal olsun ya da olmasın

x¹⁰ = 0 veya 1 (mod11) dir. Bu iki değerden başka değer alamaz. Buna göre x⁵ in mod 11 içindeki değerlerini düşünürsek x⁵ = 0, 1, -1 (mod 11) olur.

şimdi şu 3 durumu ayrı ayrı inceleyelim o halde:

x⁵ = 0 (mod 11) ise x⁵ - 4 = 0 - 4 = 11 - 4 = 7 (mod 11) olur.

x⁵ = -1 (mod 11) ise x⁵ - 4 = -1 - 4 = 10 - 4 = 6 (mod 11) olur.

x⁵ = 1 (mod 11) ise x⁵ - 4 = 1 - 4 = 12 - 4 = 8 (mod 11) olur.

[pesimath]

tamam hocam ben sadece asladır deyip çözüme gitmeye çalışıyorum bir saattir,hiç asal olmama durumunu kullanmadım,hazır çözüme baktım hiçbişey anlaşılmıyor,teşekkür ederim