üstel fonksiyon - türev ilişkisi

[Ferhat GÖLBOL]

Başlangıç kütlesi 32 gram olan radyoaktif bir elementin yarı ömrü 4 gündür (her 4 günde kütlesinin yarısı bozunuyor). 13. gün sonunda bu elementin bozunmadan kalan kütlesi kaç gramdır?

Soru üstel fonksiyondan rahatlıkla çıkıyor, ancak merak ettiğim şey türev kullanılarak nasıl çözüldüğüdür. (Diferansiyel denklemi nasıl kurulur?)

[Lokman Gökçe]

x = zaman ve y de zamana bağlı değişen madde miktarını göstersin. (yani y = f(x) şeklinde bir fonksiyon olsun) Bu durumda y'(x) (türev), o andaki bozunma hızına karşılık gelir. Bozunma hızının, o andaki madde miktarı ile doğru orantılı olduğunu dünüşebiliriz. Çünkü fazla madde ile daha fazla bozunma olur, az madde ile daha az bozunma olur. Dolayısıyla k<0 olmak üzere

                                                                       y' = k.y ... (*)

olduğunu kabul edebiliriz. burada k sabitine bozunma sabiti denir. 13. gün sonundaki kalan madde miktarını tahmin edebilmek için (*) denklemini çözmek gerkekir.

dy/dx = k.y değişkenlere ayrılabilir bir dif. denklemdir. dy/y = k.dx olup integral alırsak ln(y) = kx + C olup y = e^{kx + C} yazılır. e^C = A dersek bu denklemi daha sade biçimde

                                                                               y = A.e^kx

diye yazabiliriz. Şimdi y(0) = 32 ve y(1) = 16 olduğunu kullanarak A ve k tesbit edilebilir. A = 32 dir. Artık herhangi bir x anındaki bozunma sonucu kalan madde miktarını bulabiliriz. Az işlem ile y(13) = 1/256 olacaktır.

[geomonaroza]

yarılanma ömrü 4 gün ve başlangıçta 32 gram olan maddenin yarılanmasıyla 12. günün sonunda 4 gramının; 16. günün sonunda ise 2 gramının bozunmadan kaldığını söyleyebiliriz. buradan da kabaca 13. günün sonunda kalan madde miktarının bu iki değer arasında çıkması beklenir. yarılanma süresi 4 gün olan madde için 13 günde 1/216 sının bozunmadan kalması çok küçük bir miktar değil mi?

o da şöyle: y(4)=16 için  16=32.e^4k ve e^4k=1/2  buradan

 y(13)=32.e^13k=32.e^12k.e^k=32.(1/2)³.e^k=4.e^k
 
   (e^k=^yaklaşık0.84) ve y(13)=^yaklaşık3.36

[Lokman Gökçe]

evet, yarılanma süresini 1 gün alarak çözmüşüm ben. y(0) = 32, y(4) = 16 alarak çözmek gerekiyordu. uyarınız için teşekürler.

[Ferhat GÖLBOL]

Hocam, teşekkürler. Üstel fonksiyonla çözümü;
m(t) t'inci günde kalan kütleyi göstermek üzere m(t)=2^5-t/4 olacağından m(13)=2^7/4= ⁴√128~=3.36    (k=-ln2/4 çıkıyor.)

[Lokman Gökçe]

başka birşey sorayım:

neden yarı ömür veya yarılanma süresi tabiri kullanılır? tam ömür veya tam bitme süresi diye bir şey kullansak ne olur ki    hadi bakalım.

[geomonaroza]

Buna basitçe:"Yarı ömür radyoaktif ve bozunmaya uğrayan bir örnekteki atomların 'yarı'sının
yok olması için geçen zaman olarak tarif edilir." diyebiliriz.Ancak tepkime sonunda tamamı bitseydi "tam ömür" diyebilirdik ki radyoaktif elementler ışıma yaptıklarında birden fazla maddeye dönüşecek şekilde reaksiyon verirler.
Buna ilaveten;
"Bir radyoaktif A maddesinin yarısının, B maddesine dönüşmesi için geçen süreye radyoizotopun yarılanma süresi denir. Örneğin yarılanma ömrü 1 milyon yıl olan 1000 atomdan olusan bir A maddesinin bulunduğu yerde, başlangıçtan 1 milyon yıl sonra 500 A atomu, 500 B atomu oluşacaktır. 2 milyon yıl sonra, geri kalan A''nın yarısı B''ye dönüşeceği için, 250 A atomu, 750 B atomu kalacaktır. Eğer bir kayanın içinde 125 A atomu, 875 B atomu oranını bulursak kesinlikle bu kayanın 3 milyon yaşında olduğunu söyleyebiliriz. Bu amaçla kayalarda bulunan pek çok farklı izotop, jeolojik yaşın tayini için kullanılmaktadır."

[Lokman Gökçe]

cevabınız için teşekkürler. bunlara bir ekleme de ben yapayım:

diyelim ki elimizde yarı ömrü 1 yıl olan bir maddeye ait 32 atomumuz var. bir yılın sonunda elimizde 16 atom kalır. 2, 3, 4, 5 inci yıl sonunda sırasıyla 8, 4, 2, 1 atomumuz kalır. nihayet son atomumuz yarılanamayacaktır. yani bozunma sonucunda asla maddenin tamamı tükenmez. bu sebeple, tam ömür veya tam bitme süresi diye bir tabir kullanılmaz

[geomonaroza]

'yine de cevap' için size de teşekkürler...