Fonksiyonel Denklem Problemleri 2 {Çözüldü}

[Lokman Gökçe]

Fonksiyonel denklem problemleri ile ilgili yeni bir başlık açıyoruz. (diğeri 4 sayfa olmuş). 'Fonksiyonel denklemlere çalışmaya ilk olarak nereden başlayalım?' sorusu hepimizin kafasını kurcalamaktadır. İşte bu başlıkta, başlangıç düzeyi problemlerle başlayarak daha zor sorulara doğru emin adımlarla ilerleyeceğiz. Problem çözmenin yanında, çözüm yöntemlerinin de kavratılması amacına uygun olan bir konu sırası izlemeye özen göstereceğiz. Ayrıca, bu çalışmanın sonunda çözdüğümüz problemlerin tamamını PDF formatında bir kitapçık halinde sunacağız. Çözümlere katkılarınızı bekliyoruz, hepimize kolay gelsin

Öncelikle yerine koyma metodu olarak bilinen temel bir yöntemle ilgili problemler sunacağız. Burada değişkenlere x =0, x = 1 ya da herhangi bir x = a değeri verilerek çözüme gidilir.

[senior]

1.soru --
f(ax) = a^kf(x). Burada f(x) = A denkleminin çözümü x=x₀ olsun (x,A e R);
O zaman f(ax₀) = a^kf(x₀) = h(a)
Yani f(xx₀) = h(x) = Ax^k
A değişken olduğu, ve f(x) fonk. her yerde tanımlı old. için x₀ = 1 olsun; yani f(1) = A
O zaman f(x) = h(x) = Ax^k'dır.
Gelelim soruya; k = 3, f(5) = 1000; f(4) = ?
f(5) = A5³ = 1000 ==> A = 8; ==> f(4) = 8*4³=512

[Lokman Gökçe]

tam çözümleri ilave edeyim:

[Lokman Gökçe]

çözüm 2 ve 3:

[Lokman Gökçe]

soru 4-5:

[senior]

4.soru
a sabit ve > 0, ve x = 1 hariç , f(a) = log_x^a f(x) ==> f(x) = f(a)/log_x^a = Alog_a^x; Tabi f(1) = 0 durumunu unutmadan.

5.soru
x = 1 --> f(y^1/3) = 4Ay ( A = f(1)^1/3) --> f(x) = 4Ax³
, yerine koyarsak 4Axy = 4yx(4A)^1/3 --> A = 2 olur. Yani f(x) = 8x³
Problem 1/3 yerine, 1/a için sorulsaydı cevap 4^a/a-1x^a olur

[idensu]

tüm fonksiyonları bulunuz dediğinden f=0 fonksiyonunu da almamız gerekir. çözümlere bunu eklemek daha doğru olacak sanırım.

[senior]

tüm fonksiyonları bulunuz dediğinden f=0 fonksiyonunu da almamız gerekir. çözümlere bunu eklemek daha doğru olacak sanırım.

doğru diyorsun, 4.soruda A = 0 olabildiği için f(x) = 0 genel çözüm kümesine dahil; ama 5.soruda ihmalime gelmiş.

[Lokman Gökçe]

Aslında bulunan çözümleri fonksiyonel denklemlerde yerine yazıp denklemi sağlayıp sağlamadığını denemek gereklidir.  5. soruda da böyle bir durum vardır...

[Lokman Gökçe]

çözüm 5:

[Lokman Gökçe]

Fonksiyonel Denklemler kitapçığı hazırlama işi uzun süredir aklımın köşesinde olan bir meseleydi. Meraklılarını arşive yönlendirelim

http://geomania.org/forum/fantezi-cebir-arsivi/fonksiyonel-denklem-problemleri-2154/