Tübitak Lise 1. Aşama 2011 Soru 28

[ERhan ERdoğan]

$1,2,\dots ,4022$ sayıları $2\times 2011$ bir satranç tahtasının birim karelerine, iki sayı aynı birim karede olmamak ve ardışık olan sayılar ortak bir kenarı olan birim karelerde yer almak koşuluyla kaç farklı biçimde yerleştirilebilir?

$
\textbf{a)}\ 16168444
\qquad\textbf{b)}\ 12168440
\qquad\textbf{c)}\ 10088242
\qquad\textbf{d)}\ 8084224
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{D}$

Satranç tahtasının siyah-beyaz boyalı olduğunu düşünelim. $1$ sayısı beyaz bir karedeyse tüm çift sayılar siyah karede olmalı ya da tam tersi.
Bu durumda $1$ beyaz karedeyse $4022$ siyah karede olacak. $1$ ile $4022$ yi tahtaya yerleştirdiğimizde diğer sayıları tek bir şekilde yerleştirebiliyoruz.
$1$ ile $4022$ nin birlikte ilk ve birlikte son sütunda olduğu $4$ durum var. Bunları aradan çıkartalım.
Bunun haricinde $1$ ile $4022$ aynı sütunda olamaz. $1$ ile $4022$ nin aynı sütunda olamadığı durumları hesaplayalım:
$1$ için $4022$ farklı yer var. $4022$ ile $1$ farklı renklerdeki karelerde yer alacağı için, $4022/2 = 2011$, aynı sütunda yer almayacakları için $4022$ ye $2011-1 = 2010$ farklı yer kalıyor. Buradan $4022 \times 2010 = 8084220$ farklı yerleştirme gelir.
Toplamda $8084220+4 = 8084224$ farklı yerleştirme olur.