Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2019 Soru 32

[ERhan ERdoğan]

$12\times 12$ bir tahtanın $k$ birim karesine herhangi ikisi birbirinden farklı olan birer tam sayı yazılmıştır. Ortak bir kenara veya köşeye sahip iki birim kare $\textit{komşu}$ kabul ediliyor. Tahtada yazılı olan her bir sayı, bulunduğu kareyle komşu olan birim karelerdeki sayıların en fazla birinden küçükse, $k$ nin alabileceği en büyük değer nedir?

$\textbf{a)}\ 64 \qquad\textbf{b)}\ 72 \qquad\textbf{c)}\ 84 \qquad\textbf{d)}\ 90 \qquad\textbf{e)}\ 108 $

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{B}$

$2\times 2$ türündeki bir kısımda en fazla $2$ birim kareye sayı yazılabileceğini gösterelim. $2\times 2$ türündeki karenin $3$ hücresine $a,b,c$ gibi birbirinden farklı üç sayı yazılması durumunda; $a<b<c$ ise $a$, hem $b$'den hem de $c$'den küçük olmuş oluyor ki bu istenmiyordu. $2\times 2$ türündeki her bir kareye en fazla $2$ sayı yazılabilir. $12\times 12$ türündeki bir tahtada $\dfrac{144}{4} = 36$ tane ayrık durumlu $2\times 2$ türünde kare vardır. Böylece en fazla $36\cdot 2 = 72$ kareye sayı yazılabilir.

$72$ için örnek durum vardır: $12\times 12$ türündeki tahtanın $1,3,5,7,9$ ve $11$-inci satırlarındaki tüm karelere sayılar yazılabilir.