Tübitak Lise 1. Aşama 2014 Soru 25

[ERhan ERdoğan]

Birbirine $A$ noktasında dıştan teğet olan $C_{1}$ ve $C_{2}$ çemberlerinin yarıçapları sırası ile $6$ ve $8$ birimdir. $C_{1}$ ve $C_{2}$ çemberlerine dıştan teğet olan $C_{3}$ çemberinin yarıçapı ise $21$ birimdir. $C_{1}$ ve $C_{2}$ çemberlerinin $A$ noktasından geçen ortak teğet doğrusu $C_{3}$ çemberini $B$ ve $C$ noktalarında kesiyor ise, $|BC|$ kaçtır? 

$
\textbf{a)}\ 24
\qquad\textbf{b)}\ 25
\qquad\textbf{c)}\ 14\sqrt{3}
\qquad\textbf{d)}\ 24\sqrt{3}
\qquad\textbf{e)}\ 25\sqrt{3}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{D}$

$C_1$, $C_2$, $C_3$ çemberlerinin merkezleri, sırasıyla $X$, $Y$, $Z$ olsun.

$\triangle XYZ$ de, $Z$ den geçen yükseliğin ayağı $H$ olsun.
$YZ^2 - XZ^2 = YH^2-XH^2$ olacaktır.

$29^2 - 27^2 = 2\cdot 56 = (YH-XH)(YH+XH)=(YH-XH)\cdot XY = 14 \cdot (YH-XH)$

$YH-XH = 8$ ve $XH=AH=3$ çıkar.

$BC$ nin orta noktası $M$ olsun. $ZM \perp BC$ dir. Bu durumda, $ZMAH$ bir dikdörtgen olur. O halde, $AH=ZM=3$ olacaktır.
$\triangle ZMC$ dik üçgeninde, $MC^2 = ZC^2 - ZM^2 = 21^2 - 3^2 = 18 \cdot 24 \Rightarrow MC = 12 \sqrt 3$ ve $BC= 2\cdot MC = 24\sqrt 3$ tür.