Tübitak Lise 1. Aşama 2014 Soru 02

[ERhan ERdoğan]

$mn+n+14=\left (m-1 \right)^2$ eşitliğini sağlayan kaç $\left (m,n \right)$ tam sayı ikilisi vardır?

$
\textbf{a)}\ 16
\qquad\textbf{b)}\ 12
\qquad\textbf{c)}\ 8
\qquad\textbf{d)}\ 6
\qquad\textbf{e)}\ 2
$

[osman211]

denklemi düzenler


m²-m(n+2)+(-n-13)= 0     

ikinci dereceden bir denklem hali getirdik burda kokleri eğer tamsayi ise diskriminant değeri tam kare olmalıdır


burdan   n²+8n+56=y²   denklemini su sekilde yazabiliriz


-(n+4)²+u²=40

burdan

u-n-4=2
u+n+4=20   için  n=5 olur

u-n-4=20
u+n+4=2  için n=5 

u-n-4=4
u+n+4=10 için n=9

u-n-4=10
u+n+4=4  için n=-7

u-n-4=-2
u+n+4=-20 için n=-13

u-n-4=-20
u+n+4=-2  için n=5

u-n-4=-4
u+n+4=-10 için n=-7

u-n-4=-10
u+n+4=-4  için n=-1 olur bu değerleri yerine yazarak 

n= 5 için  2 tane  m=9 m=-2 değerleri bulunur

n=9 için bulunmaz

n=-7 için m=6 m=-1

n=-13 m=0 m=-11

n=-1 için de m=-3 ve m=4 bulunur

toplam 8 değer vardır

[ERhan ERdoğan]

Yanıt: $\boxed{C}$

Denklemi $n$ değerini yalnız bırakacak şekilde düzenlersek, $n= m-3-\dfrac{10}{m+1}$ olur.

$m+1$ değerleri $10$ un bölenleri olan $\left \{\pm1 , \pm2 , \pm5 , \pm10 \right \}$ kümesinden seçilerek $8$ tane  $(m,n)$ ikilisi bulunabilir.