Geometrik Eşitsizlik {ÇÖZÜLDÜ}

[Beyşehirli]

ABC üçgeninin kenar uzunlukları a, b ve c olmak üzere

abc ≥ (b + c - a)(c + a - b)(a + b - c)

eşitsizliğinin doğru olduğunu gösteriniz.

(NOT: Soru bir kere çözüldükten sonra farklı bir çözüm bulanlar bu çözümlerini paylaşırsa sevinirim.)

[ERhan ERdoğan]

s : alan , 2u : çevre , R : çevrel çember yarıçapı , r : iç çember yarıçapı  olmak üzere

R ≥ 2r  (Euler eşitsizliği)

(abc/4s) ≥ 2r
abc ≥ 8sr
abc ≥ 8s(s/u)
abc ≥ 8s²/u
abc ≥ 8(u-a)(u-b)(u-c) = (2u-2a)(2u-2b)(2u-2c) = (b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)
 

[Beyşehirli]

Ben de şöyle çözmüştüm:
a = x + y, b = y + z ve c = z + x dönüşümleri yaparsak eşitsizlik
(x + y)(y + z)(z + x) ≥ 8xyz haline gelir. Bu da zaten aritmetik - geometrik orta eşitsizliğinin bir sonucudur.