Geomania.Org Forumları
Matematik Eğitimi => Matematik Eğitimi => Konuyu başlatan: Lokman Gökçe - Ağustos 24, 2015, 03:10:33 öö
-
Soru (L. Gökçe):
Aşağıdakilerden hangisi $ \left( \mathbb Z, +, \cdot \right) $ halkasının bir asal idealidir?
$
\textbf{a)}\ \{ 0 \}
\qquad\textbf{b)}\ \mathbb Z
\qquad\textbf{c)}\ 4\mathbb Z
\qquad\textbf{d)}\ 3\mathbb Z \cap 6\mathbb Z
\qquad\textbf{e)}\ 15\mathbb Z
$
-
Yanıt: $\boxed{A}$
Önce asal idealin tanımını verelim:
Asal İdeal: $H$ değişmeli halkasının bir öz ideali $R$ olsun. Yani $R$, $H$ dan farklı olsun. Eğer $x,y \in H$ ve $xy \in R$ iken daima $x \in R$ veya $y\in R$ oluyorsa $R$ ye $H$ nın bir asal ideali denir.
Bu tanıma göre $R=\{ 0 \}$ nin bir asal ideal olduğu anlaşılır. Ayrıca tanımdan ispatlanabilecek bir teorem şu şekildedir:
Teorem: $n>1$ olmak üzere $n\mathbb Z$ idealinin $\mathbb Z$ nin asal ideali olması için $\iff$ $n$ asal olmalıdır.
Örneğin, $3\mathbb Z \cap 6\mathbb Z =6\mathbb Z$ olduğundan asal ideal değildir.