Geomania.Org Forumları
Fantezi Cebir => Fantezi Cebir => Konuyu başlatan: mehmetutku - Haziran 19, 2014, 12:02:45 ös
-
$2y^2=(x+5)(x-1)(x^2+4x-3)$ denklemini pozitif tam sayılar kümesinde çözünüz.
-
$2y^2=(x^2+4x-5)(x^2+4x-3)$ denkleminde sol taraf çift olduğudan sağ taraf da çift olmalıdır. Bu da $x$ tek iken mümkündür. $x=2a+1$ diyelim.
$2y^2=(4a^2+12a)(4a^2+12a+2)\Longrightarrow y^2=(2a^2+6a)(4a^2+12a+2)$ denkleminin sağlanması için $y$ çift olmalıdır. $y=2b$ diyelim.
$4b^2=(2a^2+6a)(4a^2+12a+2)\Longrightarrow b^2=(a^2+3a)(2a^2+6a+1)$ denklemi elde edilir. $a^2+3a=k$ dersek,
$b^2=k(2k+1)$ olur. Öklid Algoritması yardımıyla $OBEB(k,2k+1)=1$ olduğu görülebilir. Yani $k(2k+1)$ sayısının tamkare olabilmesi için $k$ ve $2k+1$ sayılarının ikisi de tamkare olmalıdır. Yani $a^2+3a$ tamkaredir.
Öte yandan, $a^2<a^2+3a<a^2+4a+4 \Longrightarrow a^2<a^2+3a<(a+2)^2$'dir. Dolayısıyla $a^2+3a$ sayısı $a^2$ ve $(a+2)^2$ sayıları arasındaki $(a+1)^2$ sayısına eşit olmalıdır. $a^2+3a=a^2+2a+1 \Longrightarrow a=1$ bulunur.
$a=1\Longrightarrow x=2a+1=3\Longrightarrow y=12$
Yani soruda verilen denklemi sağlayan tek $(x,y)$ pozitif tamsayı ikilisi $(3,12)$'dir.